Windschiefe
In der Geometrie heißen zwei Geraden (zueinander) windschief<ref>Meyers Rechenduden. Bibliographisches Institut, Mannheim 1960, S. 807</ref> (seltener kreuzend<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref>), wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Dies ist im zweidimensionalen Raum nicht möglich, da hier alle denkbaren Geraden in der gleichen Ebene liegen und sich entweder schneiden oder parallel sind. Windschiefe Geraden gibt es daher nur in mindestens dreidimensionalen Räumen.
Das Wort „windschief“ stammt von der Vorstellung, dass zwei ursprünglich parallele Geraden um ihre Verbindungsachse (Transversale) „gewunden“, also verdreht wurden.<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Internetquelle“ ist nicht vorhanden. Ehemals im Vorlage:Referrer (nicht mehr online verfügbar). (Seite nicht mehr abrufbar. Suche im Internet Archive)</ref>
Untersuchung zweier Geraden auf Windschiefe[Bearbeiten]
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Windschiefe von zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> nachzuweisen:
- Die Windschiefe lässt sich direkt anhand der Definition nachweisen. Es muss also gezeigt werden, dass die Geraden nicht parallel zueinander sind und sich außerdem nicht schneiden.
- Alternativ genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von <math>g</math>, ein Richtungsvektor von <math>h</math> und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf <math>g</math> zu einem Punkt auf <math>h</math> linear unabhängig sind.<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref>
- Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref>
Berechnung des Abstands windschiefer Geraden[Bearbeiten]
Das Gemeinlot zweier Geraden <math>g</math> und <math>h</math> ist die eindeutig bestimmte Strecke, die im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht. Es handelt sich um die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den beiden Graden, weshalb seine Länge den Abstand <math>d(g,h)</math> der beiden Geraden definiert.<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref>
Gegeben seien die windschiefen Geraden <math>g</math> und <math>h</math> mit den Stützpunkten <math>A</math> und <math>B</math> bzw. den Stützvektoren <math>\vec a = \overrightarrow{OA},\;\vec b = \overrightarrow{OB}</math> und den Richtungsvektoren <math>\vec v</math> und <math>\vec w</math>. Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen
- <math>g\colon \ \vec x = \vec a + r \vec v</math>
- <math>h\colon \ \vec x = \vec b + s \vec w \ \ \, r,s \in \R</math>,
wobei <math>\vec a,\,\vec b,\,\vec v,\,\vec w \in \R^3</math> ist und die drei Vektoren <math> \vec a - \vec b,\,\vec v,\,\vec w</math> linear unabhängig sind.
Der Abstand zwischen den beiden windschiefen Geraden lässt sich berechnen mithilfe des Verbindungsvektor <math>\vec a - \vec b</math> der beiden Stützpunkte und eines Einheitsvektors <math>\vec n_0</math>, der senkrecht auf <math>\vec v</math> und <math>\vec w</math> steht (und damit in Richtung des Gemeinlots zeigt):<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref>
- <math>d(g,h)=|(\vec a -\vec b)\cdot \vec n_0|\, .</math>
Einen solchen Vektor <math>\vec n_0</math> erhält man z. B. durch Bildung des Kreuzprodukts <math>\vec v \times \vec w</math>, das per Konstruktion senkrecht auf den beiden (nicht parallelen) Richtungsvektoren <math>\vec v</math> und <math>\vec w</math> steht, und anschließende Normierung. Einsetzen dieses Normaleneinheitsvektor in die obige Gleichung liefert eine Abstandsformel, die von den gegebenen Vektoren <math>\vec a , \vec b, \vec v</math> und <math>\vec w </math> abhängt:<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref>
- <math>d(g,h)=\frac{\left|(\vec a -\vec b)\cdot (\vec v \times \vec w)\right|}{|\vec v \times \vec w|}\, .</math>
Der Ausdruck <math>(\vec a - \vec b)\cdot (\vec v \times \vec w)</math> ist das Spatprodukt der Vektoren <math>\vec a - \vec b, \vec v, \vec w</math>, welches sich auch schreiben lässt als Determinante der aus diesen Vektoren zusammengesetzten Matrix<math>(\vec a - \vec b, \vec v, \vec w ).</math> Damit erhält man als weitere Abstandsformel<ref>Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.</ref>
- <math>d(g,h)=\frac{\left|\det (\vec a - \vec b, \vec v, \vec w )\right|}{|\vec v \times \vec w|}\, .</math>
Beispiel[Bearbeiten]
Gesucht ist der Abstand der beiden windschiefen Geraden
- <math>g \colon \ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \quad</math>und <math>\quad h \colon \ \begin{pmatrix} 0 \\ 11 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}.</math>
Durch Kreuzproduktbildung erhält man den Normalenvektor
- <math>\vec v \times \vec w = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\3 \end{pmatrix}</math>
mit Länge <math>|\vec v \times \vec w |=9</math>. Also ist <math>\vec n_0=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>ein Einheitsvektor, der sowohl senkrecht auf <math>g </math> als auch auf <math>h</math> steht. Bildet man nun das Skalarprodukt mit <math>\vec a - \vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ -11 \\ -8 \end{pmatrix} </math>, so erhält man den Abstand von <math>g</math> und <math>h</math> als <math>d(g,h)=\frac{1}{3}\cdot 12 = 4</math>.
Literatur[Bearbeiten]
- Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Literatur“ ist nicht vorhanden.
Weblinks[Bearbeiten]
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Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />