Wirtinger-Präsentierung

Im mathematischen Teilgebiet der Knotentheorie ist die Wirtinger-Präsentierung (oder Wirtinger-Präsentation<ref>Stefan Friedl: Topologie - Sommersemester 2012. (PDF) S. 136 ff, abgerufen am 28. April 2020. </ref>) ein Verfahren zur Beschreibung (Präsentation) einer Knotengruppe. Sie wurde nach dem österreichischen Mathematiker Wilhelm Wirtinger benannt.

Problemstellung

Eine der wichtigsten topologischen Invarianten ist die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes. Zu einem mathematischen Knoten definiert man die Knotengruppe als die Fundamentalgruppe des Knotenkomplements.

Die Wirtinger-Präsentation liefert eine Präsentation der Knotengruppe, also eine explizite Beschreibung mittels Erzeugern und Relationen.

Es ist im Allgemeinen ein nichttriviales Problem, Eigenschaften einer Gruppe aus einer Präsentation abzulesen. Im Fall von Knotengruppen gibt es aber Algorithmen, die zum Beispiel anhand der Präsentationenen zweier Knotengruppen entscheiden, ob die Knoten äquivalent sind.<ref>Geoffrey Hemion: The classification of knots and 3 -dimensional spaces. Oxford Science Publications, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York 1992, ISBN 0-19-859697-9.</ref>

Verfahren

Sei <math>D</math> ein Knotendiagramm eines Knotens <math>K</math> und P ein Punkt außerhalb des Knotens. Wir wählen eine Durchlaufrichtung und bezeichnen mit <math>B_1, \ldots ,B_k</math> der Reihe nach die Streckenabschnitte im Knotendiagramm. Für jeden Bogen <math>B_i</math> wählen wir eine in P beginnende und endende Schleife <math>x_i</math>, welche aus einer Strecke von P fast bis <math>B_i</math> besteht und aus einer Schleife um <math>B_i</math>, welche <math>B_i</math> einmal positiv umläuft (‘rechte Handregel’), und dann die vorher gewählte Strecke zurück zu P entlang läuft.

Wir sagen eine Kreuzung ist positiv, wenn der untere Strang vom oberen Strang aus gesehen (mit der gegebenen Orientierung) von rechts nach links geht. Andernfalls nennen wir die Kreuzung negativ. Am i-ten Kreuzungspunkt werden die Bögen <math>x_i</math> und <math>x_{i+1}</math> durch einen Bogen <math>x_{s(i)}</math> getrennt. Jeder Kreuzungspunkt gibt eine Relation wie im folgenden Bild.<ref>Stefan Friedl: Topologie - Sommersemester 2012. (PDF) S. 136 ff, abgerufen am 31. Juli 2015. </ref>

Datei:Wirtinger presentation.png

Die so erhaltene Präsentation

<math>\langle x_1,\ldots,x_k\mid r_1,\ldots,r_k\rangle</math>

mit

<math>r_i=x_i^{-1}x_{s(i)}x_{i+1}x_{s(i)}^{-1}\ \mbox{bei einer positiven Kreuzung}</math>

<math>r_i=x_i^{-1}x_{s(i)}^{-1}x_{i+1}x_{s(i)}\ \mbox{bei einer negativen Kreuzung}</math>

heißt Wirtinger-Präsentierung und ist eine Präsentation der Fundamentalgruppe des Knotenkomplements.<ref>Gerhard Burde, Heiner Zieschang, Michael Heusener: Knots (= De Gruyter Studies in Mathematics. Band 5). 3., überarb. Auflage. De Gruyter, Berlin 2014, ISBN 978-3-11-027074-7. </ref>

Beispiele

• Diagramm des Kleeblattknotens
  Diagramm des Kleeblattknotens
• Achterknoten
  Achterknoten

Die Wirtinger-Präsentation des Kleeblattknotens ist

<math>\langle x_1,x_2,x_3\mid x_1x_2x_3^{-1}x_2^{-1},x_2x_3x_1^{-1}x_3^{-1},x_3x_1x_2^{-1}x_1^{-1}\rangle</math>,

diese kann man mit <math>x=x_1x_2</math> und <math>y=x_2^{-1}x_1^{-1}x_2^{-1}</math> vereinfachen zu

<math>\langle x,y\mid x^3y^2\rangle</math>.

Die Wirtinger-Präsentation des Achterknotens ist

<math>\langle x_1,x_2,x_3,x_4\mid x_3x_4^{-1}x_3^{-1}x_1,x_1x_2^{-1}x_1^{-1}x_3,x_4x_2^{-1}x_3^{-1}x_2\rangle</math>,

diese kann man mit <math>x=x_1</math> und <math>y=x_1^{-1}x_3</math> vereinfachen zu

<math>\langle x,y\mid y^{-1}xyx^{-1}y^{-2}x^{-1}yx\rangle</math>.

Einzelnachweise

<references />