Knotenkomplement

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist das Knotenkomplement der nach Entfernen eines Knotens aus der 3-Sphäre verbleibende Raum.

Definition

Datei:Blue Trefoil Knot.png

Kleeblattschlinge

Es sei <math>K\subset S^3</math> ein Knoten. (Der Fall von Knoten im euklidischen Raum <math>\R^3</math> lässt sich auf den ersten Fall zurückführen, indem man die Einpunktkompaktifizierung <math>(\R^3)^*=S^3</math> betrachtet.) Das Komplement des Knotens <math>K</math> ist dann die offene Mannigfaltigkeit <math>S^3\setminus K</math>.

Häufig betrachtet man statt der offenen Mannigfaltigkeit <math>S^3\setminus K</math> auch die wie folgt konstruierte Mannigfaltigkeit mit Rand. Sei <math>N(K)</math> eine Tubenumgebung von <math>K</math>, also homöomorph zum Volltorus. Dann ist

<math>X_K=S^3\setminus int(N(K))</math>

eine kompakte 3-Mannigfaltigkeit, deren Rand ein Torus ist.

Analog kann man das Komplement von Verschlingungen definieren.

Invarianten

Die Fundamentalgruppe des Knotenkomplements ist die Knotengruppe, sie kann mit dem Wirtinger-Algorithmus präsentiert werden. Für Primknoten wird das Knotenkomplement durch die Knotengruppe eindeutig bestimmt.<ref>Wilbur Whitten: Knot complements and groups. Topology 26 (1987), no. 1, 41–44.</ref>

Die Homologiegruppen des Knotenkomplements hängen nicht vom Knoten ab, es gilt

<math>H_0(X_K)=\Z,\; H_1(X_K)=\Z,\; H_2(X_K)=0,\; H_3(X_K)=0</math>.

(Weil <math>X_K</math> und <math>S^3\setminus K</math> homotopieäquivalent sind, hängen diese Invarianten nicht davon ab, welche der beiden obigen Definitionen verwendet wird.)

Satz von Gordon-Luecke

Ein von Gordon und Luecke bewiesener Satz besagt, dass Knoten durch ihr Komplement eindeutig bestimmt sind: Wenn <math>S^3\setminus K_1</math> homöomorph zu <math>S^3\setminus K_2</math> ist, dann sind die Knoten <math>K_1</math> und <math>K_2</math> isotop.<ref>C. McA. Gordon, J. Luecke: Knots are determined by their complements. J. Amer. Math. Soc. 2 (1989), no. 2, 371–415.</ref> Die entsprechende Aussage für Verschlingungen trifft nicht zu.

Literatur

• Heinrich Tietze: Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 1–118.
• C. McA. Gordon, J. Luecke: Knots are determined by their complements. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 20 (1989), no. 1, 83–87.
• Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995, ISBN 3-86025-338-7.

Einzelnachweise

<references />