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Arithmetische Gruppe

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In der Mathematik spielen arithmetische Gruppen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, Differentialgeometrie, Topologie, Algebraischen Geometrie und in der Theorie der Lie-Gruppen. Es handelt sich um arithmetisch definierte Gitter in Lie-Gruppen; klassische Beispiele sind die Modulgruppe <math>SL(2,\Z)</math> und allgemein die Gruppen <math>SL(n,\Z)</math> für <math>n\ge 2</math>. Arithmetizität ist stets in Bezug auf eine umgebende Lie-Gruppe definiert. Nach einem Satz von Margulis sind alle irreduziblen Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom Rang <math>\ge2</math> ohne kompakten Faktor immer arithmetische Untergruppen.

Definition[Bearbeiten]

Sei <math>G</math> eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe, <math>\Gamma\subset G</math> eine Untergruppe. <math>\Gamma</math> heißt arithmetisch, wenn es

gibt, so dass <math>\phi(\Gamma K)</math> kommensurabel zu <math>(\mathrm{G}(\Z)^\prime\cap \mathrm{G}^\prime(\R)_0)K^\prime</math> ist.

Anmerkung: Eine über <math>\Q</math> definierte lineare algebraische Gruppe ist – per Definition – eine durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definierte Untergruppe <math>G\subset GL(n,\C)</math>. Wenn <math>\mathrm{G}</math> eine über <math>\Q</math> definierte lineare algebraische Gruppe ist, dann ist nach dem Satz von Borel und Harish-Chandra <math>\mathrm{G}(\Z)</math> ein Gitter in <math>\mathrm{G}(\R)</math>. Folglich ist jede arithmetische Gruppe ein Gitter in der Zusammenhangskomponente der umgebenden Lie-Gruppe.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Nach Definition ist klar, dass <math>SL(n,\Z)\subset SL(n,\R)</math> und auch zu <math>SL(n,\Z)</math> kommensurable Gruppen arithmetisch sind.
  • Bezeichne <math>\Z\left[i\right]\subset\Complex</math> die Gruppe der ganzen Gaußschen Zahlen. <math>GL(n,\Z\left[i\right])</math> ist eine arithmetische Untergruppe von <math>GL(n,\Complex)</math>, denn es ist <math>\phi(GL(n,\Z\left[i\right])=\phi(GL(n,\Complex))\cap GL(2n,\Z)</math> für die kanonische Einbettung <math>\phi:GL(n,\Complex)\rightarrow GL(2n,\R)</math>.
  • Sei <math>SO(1,n)=\left\{g\in SL(n+1,\R):gI_{1,n}g^T=I_{1,n}\right\}</math>, wobei <math>I_{1,n}</math> die Diagonalmatrix <math>I_{1,n}=diag(1,-1,-1,\ldots,-1)</math> bezeichnet und sei <math>SO(1,n,\Z)=SO(1,n)\cap SL(n+1,\Z)</math>. Dann ist <math>SO(1,n,\Z)</math> eine arithmetische Untergruppe von <math>SO(1,n)</math>, denn <math>SO(1,n)</math> ist durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definiert.
  • Im Folgenden wollen wir die Definition auf eine Klasse von weniger offensichtlichen Beispielen anwenden, nämlich auf die Hilbertschen Modulgruppen.

Sei

<math>k=Q\left[\sqrt{D}\right]=\left\{a+b\sqrt{D}:a,b\in\Q\right\}</math>

ein reeller quadratischer Zahlkörper – für eine quadratfreie ganze Zahl <math>D>0</math> mit <math>D\cong 3\ mod\ 4</math> – und <math>O_k\subset k</math> sein Ganzheitsring. Es gibt zwei durch <math>\sigma_\pm(a+b\sqrt{D})=a\pm b\sqrt{D}</math> definierte Einbettungen <math>\sigma_\pm:k\rightarrow\R</math> und dementsprechend zwei Einbettungen <math>\sigma_\pm:SL(2,k)\rightarrow SL(2,\R)</math>.

Wir betrachten die halbeinfache Lie-Gruppe

<math>G=SL(2,\R)\times SL(2,\R)</math>

und die Untergruppe

<math>\Gamma=\left\{(\sigma_+(A),\sigma_-(A)):A\in SL(2,O_k)\right\}\subset G</math>

und wollen zeigen, dass <math>\Gamma</math> eine arithmetische Gruppe ist.

Wir betrachten zunächst die algebraische Varietät

<math>\mathrm{H}:=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\

c&d\end{pmatrix}: d=a,c=bD\right\}\subset Mat(2,\Complex)</math> und den durch

<math>\psi(a+b\sqrt{D})=\begin{pmatrix}a&b\\

bD&a\end{pmatrix}</math> definierten Homomorphismus :<math>\psi:k\rightarrow \mathrm{H}(\Q)\subset Mat(2,\Q)</math>. Dann ist <math>\psi(O_k)=\mathrm{H}(\Z)</math>.

Wir bemerken, dass es einen bijektiven (additiven und multiplikativen) Homomorphismus <math>\Psi:\R\times \R\rightarrow \mathrm{H}(\R)</math> mit

<math>\Psi\circ(\sigma_+,\sigma_-)=\psi</math>,

also <math>\Psi(a+b\sqrt{D},a-b\sqrt{D})=\psi(a+b\sqrt{D})</math> für alle <math>a+b\sqrt{D}\in k</math> gibt, nämlich <math>\Psi(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{x+y}{2}&\frac{x-y}{2\sqrt{D}}\\ \frac{x-y}{2}\sqrt{D}&\frac{x+y}{2}\end{pmatrix}</math>.

Nun betrachten wir die lineare algebraische Gruppe

<math>\mathrm{G}:=\left\{X=\begin{pmatrix}A&B\\

C&D\end{pmatrix}:A,B,C,D\in \mathrm{H}, AD-BC=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\right\}\subset GL(4,\Complex)</math>. (Hier sind <math>A,B,C,D</math> 2x2-Blöcke in einer 4x4-Matrix.)

Wir definieren einen Gruppen-Homomorphismus

<math>\phi:SL(2,\R)\times SL(2,\R) \rightarrow \mathrm{G}(\R)\subset GL(4,\R)</math> durch <math>\phi\left(\begin{pmatrix}a&b\\

c&d\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a^\prime&b^\prime\\ c^\prime&d^\prime\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}\Psi(a,a^\prime)&\Psi(b,b^\prime)\\ \Psi(c,c^\prime)&\Psi(d,d^\prime)\end{pmatrix}</math>. <math>\phi</math> bildet tatsächlich nach <math>\mathrm{G}(\R)</math> ab: offensichtlich liegen die Blöcke der Bildmatrizen in <math>\mathrm{H}</math>, außerdem ist <math>\Psi(a,a^\prime)\Psi(d,d^\prime)-\Psi(b,b^\prime)\Psi(c,c^\prime)=\begin{pmatrix}\frac{\det(X)+\det(Y)}{2}&\frac{\det(X)-\det(Y)}{2\sqrt{D}}\\ \frac{\det(X)-\det(Y)}{2}\sqrt{D}&\frac{\det(X)+\det(Y)}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}</math> mit <math>X=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}, Y=\begin{pmatrix}a^\prime&b^\prime\\ c^\prime&d^\prime\end{pmatrix}</math>.

Aus der Bijektivität von <math>\Psi</math> folgt, dass auch <math>\phi</math> bijektiv und mithin ein Isomorphismus ist.

Wegen <math>\phi(\Gamma)=\mathrm{G}(\Z)</math> beweist das die Arithmetizität von <math>\Gamma</math>.

Arithmetische Untergruppen von SL(n,R)[Bearbeiten]

Alle arithmetischen Untergruppen von <math>SL(n,\R)</math> kann man mittels Divisionsalgebren, mittels unitärer Gruppen oder mittels einer Kombination dieser beiden Methoden konstruieren.

Divisionsalgebren[Bearbeiten]

Sei <math></math> eine Körpererweiterung von <math>\Q</math> mit <math>\left[F:\Q\right]=d</math> und sei <math>\mathcal{O}</math> der Ganzheitsring von <math>F</math>. Sei <math>j\in\Complex</math> mit <math>j^d\in \Z</math> und <math>jx=\eta(x)j</math> für das nichttriviale Element <math>\eta\in Gal(F/\Q)</math> und alle <math>x\in F</math>.

Wir betrachten die Divisionsalgebra <math>D=F+Fj+Fj^2+\ldots+Fj^{d-1}</math> und <math>D_{\Z}={\mathcal O}+{\mathcal O}j+{\mathcal O}j^2+\ldots+{\mathcal O}j^{d-1}</math>.

Dann ist <math>SL(n,D_{\Z})</math> eine arithmetische Untergruppe von <math>SL(dn,\R)</math>.

Unitäre Gruppen[Bearbeiten]

Sei <math>F=\Q\left[\sqrt{r}\right]</math> mit <math>r\in\Z</math> und sei <math>\eta\in Gal(F/\Q)</math> das nichttriviale Element der Galoisgruppe. Sei <math>A\in GL(n,F)</math> eine hermitesche Matrix.

Wir betrachten <math>SU(A,\eta;F)=\left\{g\in SL(n,F):gA(\eta(g))^T=A\right\}</math>.

Dann ist <math>SU(A,\eta;\Z\left[\sqrt{r}\right])=SU(A,\eta;F)\cap SL(n,\Z\left[\sqrt{r}\right])</math> eine arithmetische Untergruppe von <math>SL(n,\Complex)</math>.

Kombination[Bearbeiten]

Sei <math>F=\Q\left[\sqrt{r}\right]</math> mit <math>r\in\Z</math> und sei <math>\eta\in Gal(F/\Q)</math> das nichttriviale Element. Sei <math>D</math> eine Divisionsalgebra über <math>F</math>, so dass <math>\eta</math> zu einem Antiautomorphismus von <math>D</math> fortgesetzt werden kann. Sei <math>A\in GL(n,D)</math> eine hermitesche Matrix, d. h. <math>(\eta(A))^T=A</math>.

Dann ist <math>SU(A,\eta;D_{\Z})</math> eine arithmetische Untergruppe von <math>SU(A,\eta;D\otimes_{\Q}\R)</math>.

Q-Rang und R-Rang[Bearbeiten]

Spaltende Tori[Bearbeiten]

Sei <math>G\subset GL(n,\Complex)</math> eine algebraische Gruppe. Ein Torus ist eine abgeschlossene, zusammenhängende Untergruppe <math>T\subset G</math>, die (über <math>\Complex</math>) diagonalisierbar ist, das heißt, es gibt einen Basiswechsel <math>B\in GL(n,\Complex)</math>, so dass <math>BTB^{-1}</math> aus diagonalisierbaren Matrizen besteht.

Der Torus heißt <math>\R</math>-spaltend, wenn man <math>B\in GL(n,\R)</math> wählen kann. Zum Beispiel ist <math>SO(2)</math> kein <math>\R</math>-spaltender Torus in <math>SL(2,\R)</math>, die Gruppe der Diagonalmatrizen (mit Determinante 1) aber doch. Der <math>\R</math>-Rang einer algebraischen Gruppe ist die maximale Dimension eines <math>\R</math>-spaltenden Torus. Zum Beispiel ist <math>\R-rk(SL(n,\R))=n-1</math> oder <math>\R-rk(SO(n))=0</math>.

Ein Torus heißt <math>\Q</math>-spaltend, wenn er über <math>\Q</math> definiert ist und man <math>B\in GL(n,\Q)</math> wählen kann.

Q-Rang[Bearbeiten]

Für eine arithmetische Gruppe <math>\Gamma\subset G</math> gibt es per Definition eine über <math>\Q</math> definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe <math>\mathrm{G}</math> und einen Isomorphismus <math>\phi</math>, so dass (modulo kompakter Gruppen) das Bild von <math>\Gamma</math> zu <math>\mathrm{G}(\Z)\cap \mathrm{G}(\R)_0</math> isomorph ist. Der <math>\Q</math>-Rang von <math>\Gamma</math> wird definiert als die Dimension eines maximalen <math>\Q</math>-spaltenden Torus in <math>\mathrm{G}</math>. (Man beachte, dass <math>\Q-rk(\Gamma)</math> nur von <math>\mathrm{G}</math> abhängt, dass aber verschiedene arithmetische Untergruppen <math>\Gamma_1,\Gamma_2\subset G</math> einer Lie-Gruppe <math>G</math> unterschiedlichen <math>\Q</math>-Rang haben können, weil die zu wählenden algebraischen Gruppen <math>\mathrm{G}_1,\mathrm{G}_2</math> sich unterscheiden.)

Beispiele[Bearbeiten]

Man sieht leicht, dass <math>\R-rk(SL(2,\R)\times SL(2,\R))=\Q-rk(SL(2,\R)\times SL(2,\R))=2</math>. Die arithmetische Untergruppe <math>SL(2,\Z)\times SL(2,\Z)\subset SL(2,R)\times SL(2,\R)</math> hat also <math>\Q</math>-Rang <math>2</math>. Der <math>\Q</math>-Rang der oben besprochenen Hilbertschen Modulgruppe ist hingegen der <math>\Q</math>-Rang der oben konstruierten Gruppe <math>\mathrm{G}:=\left\{X=\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}:A,B,C,D\in \mathrm{H}, \det(X)=1\right\}\subset GL(4,\Complex)</math>. Man kann zeigen, dass <math>\left\{diag(\lambda,\lambda,\frac{1}{\lambda},\frac{1}{\lambda}):\lambda\in \R^\times\right\}</math> ein maximaler <math>\Q</math>-spaltender Torus in <math>\mathrm{G}(\R)</math> ist, mithin <math>\Q-rk(\Gamma)=\Q-rk(\mathrm{G}(\R))=1</math>.

Geometrische Interpretation[Bearbeiten]

Sei <math>G</math> eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor, <math>K</math> eine maximal kompakte Untergruppe und <math>\Gamma\subset G</math> ein arithmetisches Gitter. Die Killing-Form definiert eine riemannsche Metrik auf <math>G/K</math>, man erhält einen symmetrischen Raum. Der <math>\R</math>-Rang von <math>G</math> lässt sich interpretieren als die Dimension eines maximalen flachen Unterraumes (d. h. einer einfach zusammenhängenden total-geodätischen Untermannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant <math>0</math>) in <math>G/K</math>.

Der Quotient <math>X=\Gamma\backslash G/K</math> ist ein lokal symmetrischer Raum. Der <math>\Q</math>-Rang von <math>\Gamma</math> lässt sich interpretieren als die maximale Dimension eines flachen Unterraumes in einer endlichen Überlagerung von <math>X</math> oder als die kleinste Zahl <math>r</math>, so dass ganz <math>X</math> in endlichem Abstand von einer endlichen Vereinigung <math>r</math>-dimensionaler flacher Unterräume ist. Insbesondere ist <math>\Q-rk(\Gamma)=0</math>, falls <math>X</math> kompakt ist.

Charakterisierung arithmetischer Gitter[Bearbeiten]

Satz (Margulis): Ein irreduzibles Gitter <math>\Gamma\subset G</math> in einer halbeinfachen Lie-Gruppe <math>G</math> ist arithmetisch dann und nur dann, wenn <math>\Gamma</math> unendlichen Index in seinem Kommensurator hat, also wenn <math>[\operatorname{comm}_G(\Gamma):\Gamma]=\infty</math>.

Arithmetizitäts-Satz von Margulis[Bearbeiten]

Satz: Sei <math>G</math> eine halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor mit <math>\R-rk(G)\ge 2</math>. Dann ist jedes irreduzible Gitter <math>\Gamma\subset G</math> arithmetisch.

Erläuterungen: Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe <math>\Gamma\subset G</math> mit <math>vol(\Gamma\backslash G)<\infty</math>, wobei das Volumen bzgl. des Haarmaßes berechnet wird. Ein Gitter heißt irreduzibel, falls es keine Zerlegung <math>G=G_1\times G_2,\Gamma=\Gamma_1\times \Gamma_2</math> mit Gittern <math>\Gamma_1\subset G_1,\Gamma_2\subset G_2</math> gibt.

Margulis bewies diesen Satz als eine Folgerung aus dem von ihm bewiesenen Superstarrheitssatz.<ref>Margulis, G.A.: Arithmeticity of the irreducible lattices in the semisimple groups of rank greater than 1. Invent. Math (1984) 76 - 93. doi:10.1007/BF01388494</ref>

Literatur[Bearbeiten]

  • Lizhen Ji: Arithmetic groups and their generalizations. What, why, and how (= Studies in Advanced Mathematics. Bd. 43). American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-4675-9.
  • Vladimir Platonov, Andrei Rapinchuk: Algebraic Groups and Number Theory (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 139). Academic Press, Boston MA u. a. 1994, ISBN 0-12-558180-7, Digitalisat (PDF; 22,46 MB).

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

<references />

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