Bisymmetrische Matrix
Eine bisymmetrische Matrix oder doppelt symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die sowohl bezüglich ihrer Hauptdiagonale, als auch bezüglich ihrer Gegendiagonale symmetrisch ist.
Definition[Bearbeiten]
Eine quadratische Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> über einem Körper <math>K</math> heißt bisymmetrisch, wenn für ihre Einträge
- <math>a_{i,j} = a_{j,i}</math> und <math>a_{i,j} = a_{n-j+1,n-i+1}</math>
für <math>i,j = 1, \ldots, n</math> gilt.<ref>Thomas Muir: A Treatise on the Theory of Determinants. Dover, New York 1960, S. 19.</ref> Die Einträge einer bisymmetrischen Matrix verändern sich demnach nicht, wenn sie an der Hauptdiagonale oder an der Gegendiagonale gespiegelt werden.
Beispiele[Bearbeiten]
Bisymmetrische Matrizen der Größe <math>3 \times 3</math> haben die allgemeine Form
- <math>A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & b \\ c & b & a \end{pmatrix}</math>
und diejenigen der Größe <math>4 \times 4</math> die Form
- <math>A = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ b & e & f & c \\ c & f & e & b \\ d & c & b & a \end{pmatrix}</math>
mit <math>a,b,c,d,e,f \in K</math>.
Eigenschaften[Bearbeiten]
Symmetrien[Bearbeiten]
Eine bisymmetrische Matrix ist sowohl symmetrisch, als auch persymmetrisch und damit auch zentralsymmetrisch. Umgekehrt ist eine zentralsymmetrische Matrix, die zudem symmetrisch oder persymmetrisch ist, bisymmetrisch. Mit der Permutationsmatrix <math>J \in K^{n \times n}</math> definiert durch
- <math>J = (\delta_{i,n-j+1})_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ & \cdot^{\,\cdot^{\,\cdot}} & \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}</math>
lassen sich bisymmetrische Matrizen auch kompakt durch die beiden Bedingungen
- <math>A = A^T</math> und <math>J A = A J</math>
charakterisieren. Eine reelle symmetrische Matrix ist genau dann bisymmetrisch, wenn sich ihre Eigenwerte nach Multiplikation mit der Matrix <math>J</math> von links oder rechts höchstens bezüglich des Vorzeichens unterscheiden.<ref>David Tao, Mark Yasuda: A spectral characterization of generalized real symmetric centrosymmetric and generalized real symmetric skew-centrosymmetric matrices. In: SIAM J. Matrix Anal. Appl. Band 23, Nr. 3, 2002, S. 885–895.</ref>
Summe und Produkt[Bearbeiten]
Die Summe <math>A+B</math> zweier bisymmetrischer Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> ergibt wieder eine bisymmetrische Matrix, ebenso sind auch skalare Vielfache <math>cA</math> mit <math>c \in K</math>. Nachdem die Nullmatrix trivialerweise bisymmetrisch ist, bilden die bisymmetrischen Matrizen einen Untervektorraum im Matrizenraum <math>K^{n \times n}</math>.
Das Produkt <math>A \cdot B</math> zweier bisymmetrischer Matrizen ergibt genau dann wieder eine bisymmetrische Matrix, wenn die beiden Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> kommutieren.
Inverse[Bearbeiten]
Für Inverse <math>A^{-1}</math> einer bisymmetrischen Matrix gilt, sofern sie existiert
- <math>A^{-1} = (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T</math> und <math>J A^{-1} = (A J)^{-1} = (J A)^{-1} = A^{-1} J</math>.
Die Inverse einer regulären bisymmetrischen Matrix ist demnach wieder bisymmetrisch.<ref>Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. JHU Press, 2013, S. 208.</ref>
Siehe auch[Bearbeiten]
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />
Weblinks[Bearbeiten]
- Eric W. Weisstein: Bisymmetric Matrix. In: MathWorld (englisch).