Elliptische Integrale

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Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

<math>\int R \left(x,\sqrt{P(x)} \right) \mathrm dx,</math>

wobei <math>R</math> eine rationale Funktion in zwei Variablen und <math>P(x)</math> ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist.<ref>Elliptisches Integral. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8. </ref> Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik gibt es weitreichende Anwendungen.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen. Ist dies doch möglich, spricht man von einem pseudoelliptischen Integral.<ref>Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 502. </ref> „Echte“ elliptische Integrale lassen sich durch Umformungen auf die folgenden drei Grundtypen zurückführen, die man als elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art (oder Gattung) bezeichnet.<ref>Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 503 (Formeln (8.25a) bis (8.25c)). </ref>

I. Art: <math>\int \frac {\mathrm dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}</math>

II. Art: <math>\int \sqrt {\frac {1 - k^2x^2}{1 - x^2}}\, \mathrm dx</math>

III. Art: <math>\int \frac {\mathrm dx}{(1 - nx^2) \sqrt {(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}}</math>

Der Parameter <math>k</math> mit <math>0 < k < 1 </math> ist der elliptische Modul. Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter <math>m=k^2</math> statt <math>k</math> verwendet und der Definitionsbereich auf <math>m < 0</math> erweitert.

Die elliptischen Integrale stehen in engem Zusammenhang mit den elliptischen Funktionen. Vereinfacht ausgedrückt, ist die Umkehrfunktion eines elliptischen Integrals erster Art eine elliptische Funktion.<ref>Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-31764-3, S. 291. </ref>

Bezeichnungen

Die oben angegebene Darstellung der elliptischen Integrale nennt man die Jacobi-Form. Durch die Substitution <math>t = \sin\vartheta</math> lässt sie sich in die Legendre-Grundform überführen. Bei allen drei Grundtypen unterscheidet man vollständige und unvollständige Integrale. Vollständige elliptische Integrale sind bestimmte Integrale mit der unteren Integrationsgrenze 0 und der oberen Integrationsgrenze 1 (Jacobi-Form) bzw. <math>\tfrac{\pi}{2}</math> (Legendre-Grundform). Unvollständige elliptische Integrale haben ebenfalls die untere Integrationsgrenze 0, aber eine variable obere Integrationsgrenze, z. B. <math>x</math> im Falle der Jacobi-Form bzw. <math>\varphi</math> im Falle der Legendre-Grundform. Sie werden weiter unten behandelt. Vollständige elliptische Integrale lassen sich als Spezialfälle der unvollständigen elliptischen Integrale auffassen.

Für das vollständige elliptische Integral I. Art ist die Bezeichnung <math>K(k)</math> üblich, für das vollständige Integral II. Art <math>E(k)</math> und für das vollständige Integral III. Art <math>\Pi(n,k)</math>. Für die entsprechenden unvollständigen elliptischen Integrale I. bis III. Art sind <math>F(x,k)</math> oder <math>F(\varphi,k)</math>, <math>E(x,k)</math> oder <math>E(\varphi,k)</math> und <math>\Pi(n,x,k)</math> oder <math>\Pi(n,\varphi,k)</math> die Standardbezeichnungen – je nachdem, ob die Jacobi-Form oder die Legendre-Grundform gemeint ist.

Manche Autoren ersetzen den Parameter <math>k</math> durch den Parameter <math>m = k^2</math>. Im Rest dieses Artikels wird meistens die Konvention mit dem Parameter <math>k</math> verwendet.

Vollständige elliptische Integrale

Datei:Mplwp complete ellipticKEm.svg

Graph der vollständigen elliptischen Integrale <math>K(m)</math> und <math>E(m)</math>

Definition der vollständigen elliptischen Integrale

Die vollständigen elliptischen Integrale I. und II. Art stehen im direkten Bezug zur Gauß’schen hypergeometrischen Funktion <math>{}_2F_1(a,b;c;z)</math>, das vollständige elliptische Integral III. Art zur Appell’schen hypergeometrischen Funktion <math>F_1(a;b_1,b_2;c;x,y).</math>

<math>\begin{align}

K(k) &:= F(\tfrac{\pi}{2},k) = \tfrac{\pi}{2} \cdot {}_2F_1(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; 1; k^2) \\ E(k) &:= E(\tfrac{\pi}{2},k) = \tfrac{\pi}{2} \cdot {}_2F_1(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; 1; k^2) \\ \Pi(n,k) &:= \Pi(\tfrac{\pi}{2},n,k) = \tfrac{\pi}{2} \cdot F_1(\tfrac{1}{2}; 1, \tfrac{1}{2}; 1; n, k^2) \end{align}</math>

In der nachfolgenden Tabelle sind die vollständigen elliptischen Integrale in der Integraldarstellung mit dem Parameter <math>k</math> dargestellt. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter <math>m=k^2</math> in Verwendung.

Definition der vollständigen elliptischen Integrale mit Parameter <math>k</math>

I. Art: Jacobi-Form	<math>K(k) := \int_{0}^{1} \frac {\mathrm dt}{\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2t^2)}}</math>
I. Art: Legendre-Normalform	<math>K(k) := \int_{0}^{\pi/2} \frac{\text{d}\vartheta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\vartheta}}</math>
II. Art: Jacobi-Form	<math>E(k) := \int_{0}^{1} \sqrt {\frac {1 - k^2t^2}{1 - t^2}}\, \mathrm dt</math>
II. Art: Legendre-Normalform	<math>E(k) := \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\vartheta} \; \text{d}\vartheta</math>
III. Art: Jacobi-Form	<math>\Pi(n, k) := \int_{0}^{1} \frac {\mathrm dt}{(1 - n\,t^2) \sqrt {(1 - t^2)(1 - k^2t^2)}}</math>
III. Art: Legendre-Normalform	<math>\Pi(n,k) := \int_{0}^{\pi/2} \frac{\text{d}\vartheta}{(1-n\sin^2\vartheta) \sqrt{1 - k^2 \sin^2\vartheta}}</math>

Definition der komplementären Integrale und des Nomens

Die komplementären vollständigen elliptischen Integrale <math>K'</math> und <math>E'</math> sind mit der komplementären Variable <math>k'</math> folgendermaßen definiert:

<math>\begin{align}

k' &:= \sqrt{1 - k^2}\\ K'(k)&:= K(k')\\ E'(k)&:= E(k') \end{align}</math>

Damit lässt sich das elliptische Nomen (auch Jacobische Entwicklungsgröße) definieren, das in der Theorie der elliptischen Integrale eine wichtige Rolle spielt.

<math>q(k) = \exp\left[-\pi \,\frac{K(\sqrt{1 - k^2})}{K(k)}\right] = \exp\left[-\pi \,\frac{K'(k)}{K(k)}\right]</math>

Mithilfe des elliptischen Nomens lässt sich ein Zusammenhang mit den Jacobischen Thetafunktionen (genauer: Theta-Nullwerten) formulieren:<ref>Theta Function, Properties, Relations to Other Functions. In: dlmf.nist.gov. Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 15. Juli 2026 (, Formel 20.9.2, dort Schreibweise mit <math>\tau</math> statt <math>q</math>). </ref><ref>Complete Elliptic Integral of the First Kind. In: MathWorld. Abgerufen am 15. Juli 2026 (, Formel (14)). </ref>

<math>K(k) = \frac{\pi}{2} \vartheta_3^2(0,q(k))</math>

Darstellungsformen

Darstellung per MacLaurinscher Reihe

Die MacLaurin-Reihen von <math>K(k)</math> und <math>E(k)</math> sind gegeben durch:<ref>Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 528 (Formeln 8.108 und 8.109). </ref>

<math>\begin{align}

K(k) &= \tfrac{1}{2} \pi \left[ 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 k^2 + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 k^4 + \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^2 k^6 + \ldots \right]\\ E(k) &= \tfrac{1}{2} \pi \left[ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{k^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3} - \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^2 \frac{k^6}{5} - \ldots \right] \end{align}</math>

Gleichwertige Schreibweisen sind:

<math>\begin{align}

K(k) &= \frac{\pi}{2} \left[1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \, \frac{\operatorname{CBC}(n)^2}{16^{n}} \, k^{2n}\right] = \frac{\pi}{2} \left\{ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}\right]^2 k^{2n} \right\}\\ E(k) &= \frac{\pi}{2} \left[1 - \sum_{n = 1}^{\infty} \, \frac{\operatorname{CBC}(n)^2}{16^{n}(2n - 1)} \, k^{2n}\right] = \frac{\pi}{2} \left\{ 1 - \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!} \right]^2 \frac{k^{2n}}{2n-1} \right\} \end{align}</math>

Das hier verwendete Kürzel CBC steht für den englischen Begriff Central Binomial Coefficient. Es bezeichnet den mittleren Binomialkoeffizienten und ist definiert durch

<math>\operatorname{CBC}(n) = {2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}</math>.

Der Konvergenzradius der beiden Reihen ist jeweils 1.

Die angegebenen Potenzreihen können zur numerischen Auswertung verwendet werden. Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Konvergenz vom Argument <math>k</math> abhängig ist. Die Verwendung von Potenzreihen ist bezüglich der Rechenzeit nicht die effizienteste Methode zur numerischen Auswertung. Denn die Potenzreihen für die Funktionen <math>K</math> und <math>E</math> konvergieren mit der Konvergenzgeschwindigkeit der Maclaurinschen Reihen für die Funktionen Arkussinus und Areatangens hyperbolicus und können mit Hilfe ihrer genannten Integraldarstellungen hergeleitet werden. Ist in einer physikalischen Anwendung klar, dass das Argument <math>k</math> in einem bezüglich der Genauigkeit geeigneten Bereich liegt, so bietet die Potenzreihen-Darstellung im Sinne der Linearisierung eine nützliche Methode zur Angabe von Näherungslösungen oder Faustformeln.

Darstellung per unendlichem Produkt

In der folgenden Tabelle sind Produktdarstellungen des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art und des komplementären elliptischen Integrals 1. Art angegeben. Oftmals wird auch die komplementäre Variable <math>k' = \sqrt{1 - k^2} </math> zur kompakteren Darstellung verwendet. Auffällig ist die Vertauschung von <math>k_n</math> und <math>k_n' = \sqrt{1 - k_n^2}</math> bezüglich der beiden Produktformeln beim Vergleich zum Komplementär.

Produktdarstellung des vollständigen elliptischen Integrals I. Art

	Vollständiges elliptisches Integral I. Art	Komplementäres elliptisches Integral I. Art
Anfangswert	<math>k_0 := k</math>	<math>k_0 := k</math>
Rekursionsgleichung	<math>k_{n+1} = \frac{1 - \sqrt{1 - k_n^2}}{1 + \sqrt{1 - k_n^2}}</math>	<math>k_{n+1} = \frac{2 \sqrt{k_n}}{1 + k_n}</math>
Produktformeln	<math>K(k) = \frac{\pi}{2}\prod_{n=0}^{\infty} \frac{2}{1+\sqrt{1 - k_n^2}} = \frac{\pi}{2} \prod_{n=1}^{\infty} (1 + k_n) </math>	<math>K'(k_0) = \frac{\pi}{2} \prod_{n=0}^{\infty} \frac{2}{1 + k_n} = \frac{\pi}{2}\prod_{n=1}^{\infty} (1 + \sqrt{1 - k_n^2})</math>

Darstellung per AGM-Algorithmus

Neben den Potenzreihen existiert eine Darstellung als Grenzwert des iterierten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM-Algorithmus). Im Folgenden stellt <math>a</math> den arithmetischen Mittelwert, <math>b</math> den geometrischen Mittelwert und <math>c</math> eine Hilfsvariable dar. Die Anfangswerte <math>a_0, b_0, c_0</math> sind wie angegeben durch das Argument <math>k</math> definiert. Zu beachten ist, dass für <math>k=1</math> das vollständige elliptische Integral I. Art ins Unendliche läuft. Deshalb kann <math>E(1)</math> nicht berechnet werden. Dies stellt jedoch kein Problem dar, da dieser Wert exakt zu <math>E(1) = 1</math> bekannt ist. Bei einer Implementierung bedarf es also einer Fallunterscheidung. Die Parameter-Konvention <math>E(m),\; K(m)</math> lässt sich ebenfalls mit dem AGM-Algorithmus berechnen. Es bedarf ausschließlich der Substitution <math>m = k^2</math>. In der Praxis zeigt sich, dass bei Verwendung von double-precision (<math>\approx 16</math> dezimalen Nachkommastellen) eine Wahl von <math>n=4</math> Rekursionsschritten die besten Ergebnisse liefert. Bei <math>n>4</math> sinkt die Genauigkeit aufgrund von Rundungsfehlern. Diese geringe Anzahl an Rekursionsschritten zeigt die Effizienz des AGM-Algorithmus.

AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale

Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
<math>a_0 := 1</math>	<math>a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}</math>	<math>K(k) = \frac{\pi}{2 \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_n} \equiv \frac{\pi}{2 \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} b_n}</math>
<math>b_0 := \sqrt{1 - k^2}</math>	<math>b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} </math>	<math>E(k) = \left( 1 - \sum_{n=0}^{\infty}2^{n-1} c_n^2 \right) \cdot K(k)</math>
<math>c_0 := k</math>	<math>c_{n+1} = \frac{a_n - b_n}{2}</math>	<math>\Pi(n, k) = \frac{1}{2} \cdot\left(2 + \frac{n}{1-n}\sum_{n=0}^{\infty} Q_n \right) \cdot K(k)</math>
<math>p_0 := \sqrt{1 - n} </math>	<math>p_{n+1} = \frac{p_n^2 + a_n b_n}{2 p_n}</math>
<math>Q_0:=1 </math>	<math>Q_{n+1} = \frac{Q_n}{2} \cdot \frac{p_n^2 - a_n b_n}{p_n^2 + a_n b_n}</math>

Durch Substitution gemäß <math>\alpha_n = \sqrt{a_{2n}} \;, \; \beta_n = \sqrt{b_{2n}}</math> findet sich weiterhin der sogenannte Quartic-AGM-Algorithmus, dessen Iterationsvorschrift in der nachfolgenden Tabelle dargestellt ist. Die Bezeichnung „Quartic“ bezieht sich auf die Konvergenz des Algorithmus. Die Konvergenzordnung des Algorithmus in der oberen Tabelle ist quadratisch.

Quartic-AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale

Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
<math>\alpha_0 := 1</math>	<math>\alpha_{n+1} = \frac{\alpha_n + \beta_n}{2}</math>	<math>K(k) = \frac{\pi}{2 \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \alpha_n^2 }</math>
<math>\beta_0 := \left(1 - k^2 \right)^{1/4}</math>	<math>\beta_{n+1} = \left( \frac{\alpha_n^3 \beta_n + \beta_n^3 \alpha_n}{2} \right)^{1/4}</math>	<math>E(k) = \left(1 - \sum_{n = 0}^{\infty} 4^n \left(\alpha_n^4 - \left( \frac{\alpha_n^2 + \beta_n^2}{2} \right)^2 \right) \right) \cdot K(k)</math>

Singuläre elliptische Integralwerte

Als singuläre elliptische Integralwerte bezeichnet man diejenigen Werte des vollständigen elliptischen Integrals erster Art, deren Modul ein singulärer Modul ist. Dieser ist dadurch charakterisiert, dass

<math>\frac{K(k')}{K(k)}=\sqrt{n},\qquad n\in\mathbb N,</math>

wobei <math>k'=\sqrt{1-k^2}</math> den komplementären Modul bezeichnet. Für zahlreiche singuläre Werte lassen sich geschlossene Darstellungen durch Werte der Gammafunktion beziehungsweise der Eulerschen Betafunktion angeben.<ref>J. M. Borwein, P. B. Borwein: Pi and the AGM, Kapitel 5.</ref><ref>Eric W. Weisstein: Elliptic Integral Singular Value, MathWorld.</ref>

Zu den bekanntesten singulären Werten gehören<ref>Elliptic Integral Singular Value. Abgerufen am 7. April 2023. </ref>

<math>\lambda^*(1)=\frac1{\sqrt2},\qquad

K\!\left(\frac1{\sqrt2}\right)=\frac{\Gamma(\frac14)^2}{4\sqrt{\pi}},</math>

sowie

<math>\lambda^*(2)=\sqrt2-1,\qquad

K(\sqrt2-1)=\frac{\Gamma(\frac18)\Gamma(\frac38)}{2^{13/4}\sqrt{\pi}},</math>

und

<math>\lambda^*(3)=\sin\frac{\pi}{12},\qquad

K\!\left(\sin\frac{\pi}{12}\right)= \frac{\Gamma(\frac13)^3}{2^{7/3}3^{1/4}\pi}</math>.

Dabei bezeichnet <math>\lambda^*</math> die Elliptische Lambda-Stern-Funktion.

Singuläre elliptische Integralwerte spielen insbesondere bei Theta-Funktionen und Ramanujans Reihenentwicklungen für <math>\pi</math> eine wichtige Rolle.

Spezielle Identitäten

Spezielle Funktionswerte:<ref name="Byrd1954">Paul F. Byrd, Morris D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Physicists. Springer Berlin Heidelberg, 1954, doi:10.1007/978-3-642-52803-3. </ref>

<math>\begin{align}

F(\tfrac{n\pi}{2}, m) &\equiv n K(m) \;, & n\in \mathbb{N} \\ E(\tfrac{n\pi}{2}, m) &\equiv n E(m) \;, & n\in \mathbb{N} \\ \Pi\left(m, \frac{n\pi}{2}, m\right) &\equiv \frac{n E(m)}{m-1} \; , & n \in \mathbb{N} \end{align}</math>

<math>\begin{align}

\Pi(0, m) &\equiv K(m) \\ \Pi(n, 0) &\equiv \frac{\pi/2}{\sqrt{1-n}} \\ \Pi(m, m) &\equiv \frac{E(m)}{1 - m} \\ \Pi(k, k) &\equiv \frac{\pi}{4(1-k)} + \tfrac12 K(k) \end{align}</math>

<math>\Pi(0,0) = \frac{\pi}{2}</math>

<math>

\lim_{k\rightarrow 1} \Pi(0,k) = \infty </math>

Modultransformationen der vollständigen Integrale

Reflexive Transformationen

Die Transformationen des elliptischen Moduls<ref>EllipticK, Functional identities. Abgerufen am 29. November 2022. </ref> erfolgen nach den nun folgenden Mustern:

<math>\begin{align}

K(m) &\equiv \frac{1}{\sqrt{1-m}}\;K\left(\frac{m}{m-1}\right) \\ E(m) &\equiv \sqrt{1-m}\;E\left(\frac{m}{m-1}\right) \\ \Pi(n, m) &\equiv \frac{1}{(1-n)\sqrt{1-m}}\;\Pi\left(\frac{n}{n-1}, \frac{m}{m-1}\right) \end{align}</math> Bezüglich des standardisierten Legendreschen Moduls beziehungsweise bezüglich der numerischen Exzentrizität ist die soeben gezeigte Transformation imaginär beschaffen. Wenn diese Modultransformation auf sich selbst angewandt wird beziehungsweise zweimal hintereinander durchgeführt wird, dann entsteht wieder der anfängliche Modul. Somit hat diese Modultransformation einen reflexiven Charakter.

Landensche Transformationen

Die absteigende Landensche Transformation ordnet einem gegebenen Modul <math>k</math> die Zahl <math>k_1 = \tfrac{1-k'}{1+k'} = \tfrac{1 - \sqrt{1-k^2}}{1 + \sqrt{1-k^2}}</math> zu. Es gilt <math>k_1 < k</math>. Zwischen den vollständigen elliptischen Integralen mit den Modulen <math>k</math> und <math>k_1</math> besteht folgender Zusammenhang:<ref>B. C. Carlson: Elliptic Integrals. Legendre's Integrals. Quadratic Transformations. In: dlmf.nist.gov. Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 29. Juli 2026 (Formel 19.8.12). </ref>

<math>K(k) = (1 + k_1) \, K(k_1)</math>

<math>E(k) = (1 + k') \, E(k_1) - k' \, K(k)</math>

Des Weiteren gilt:

<math>\begin{align}

K(k) &= \frac{1}{1+k} \, K(k_2) & K'(k) &= \frac{2}{1+k} \, K'(k_2)\\ K(k) &= \frac{2}{1+k'} \, K(k_1) & K'(k) &= \frac{1}{1+k'} \, K'(k_1)\\ E(k) &= \frac{1+k}{2} \, E(k_2) + \frac{k'^2}{2} \, K(k) & E'(k) &= (1+k) \, E'(k_2) - k \, K'(k)\\ E(k) &= (1 + k') \, E(k_1) - k' \, K(k) & E'(k) &= \frac{1 + k'}{2} \, E'(k_1) + \frac{k^2}{2} \, K'(k) \end{align}</math>

mit <math>k_2 = \frac{2 \sqrt{k}}{1+k} > k</math> (aufsteigende Landensche Transformation).

Aus diesen Gleichungen folgt

<math>\frac{K'(k_1)}{K(k_1)} = 2 \frac{K'(k)}{K(k)}</math>.

Das für die Berechnung des Nomens wichtige Verhältnis <math>\tfrac{K\left(\sqrt{1-k^2}\right)}{K\left(k\right)}</math> verdoppelt sich also beim Übergang vom Modul <math>k</math> zum Modul <math>k_1</math>.<ref>Elliptic Integral. In: Wolfram MathWorld. Abgerufen am 29. Juli 2026 (, Formel (148)). </ref>

Für das Nomen <math>q</math> selbst ergibt sich:

<math>q(k_1) = q(k)^2</math>

Die folgenden drei Beispiele sollen die Landen-Transformation erläutern:

Landensche Modultransformationen

k	k1	Zusammenhang zwischen K(k) und K(k1)	Periodenverhältnis	Nomenfunktion
<math>k = \tfrac{3}{5}</math>	<math>k_1 = \tfrac{1}{9}</math>	<math>K(\tfrac{3}{5}) = K'(\tfrac{4}{5}) = \left(1+\tfrac{1}{9}\right) K(\tfrac{1}{9}) </math>	<math>2 \cdot \frac{K(\tfrac{4}{5})}{K(\tfrac{3}{5})} = \frac{K(\tfrac{4}{9}\sqrt{5})}{K(\tfrac{1}{9})} </math>	<math> q(\tfrac{3}{5})^2 =q(\tfrac{1}{9}) </math>
<math>k = \tfrac{8}{17}</math>	<math>k_1 = \tfrac{1}{16}</math>	<math>K(\tfrac{8}{17}) = K'(\tfrac{15}{17}) = \left(1+\tfrac{1}{16}\right) K(\tfrac{1}{16}) </math>	<math>2 \cdot \frac{K(\tfrac{15}{17})}{K(\tfrac{8}{17})} = \frac{K(\tfrac{1}{16}\sqrt{255})}{K(\tfrac{1}{16})} </math>	<math> q(\tfrac{8}{17})^2 =q(\tfrac{1}{16}) </math>
<math>k = \tfrac{5}{13}</math>	<math>k_1 = \tfrac{1}{25}</math>	<math>K(\tfrac{5}{13}) = K'(\tfrac{12}{13}) = \left(1+\tfrac{1}{25}\right) K(\tfrac{1}{25}) </math>	<math>2 \cdot \frac{K(\tfrac{12}{13})}{K(\tfrac{5}{13})} = \frac{K(\tfrac{4}{25}\sqrt{39})}{K(\tfrac{1}{25})} </math>	<math> q(\tfrac{5}{13})^2 =q(\tfrac{1}{25}) </math>

Ableitungen der vollständigen Integrale

Die vollständigen elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Art werden so abgeleitet:<ref>B. C. Carlson: Elliptic Integrals. Legendre's Integrals. Derivatives and Differential Equations. In: dlmf.nist.gov. Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 30. Juli 2026 (Formeln 19.4.1 bis 19.4.3). </ref>

<math>\begin{align}

& \frac{\text{d}K(k)}{\text{d}k} = \frac{E(k) - (1 - k^2) \cdot K(k)}{k \cdot (1 - k^2)} && \frac{\text{d}K(m)}{\text{d}m} = \frac{E(m) - (1 - m) \cdot K(m)}{2m \cdot (1 - m)} \\ & \frac{\text{d}E(k)}{\text{d}k} = \frac{E(k) - K(k)}{k} && \frac{\text{d}E(m)}{\text{d}m} = \frac{E(m) - K(m)}{2m} \\ & \frac{\text{d}\Pi(n,m)}{\text{d}n} = \frac{1}{2(m-n)(n-1)} \left( E(m) + \frac{m-n}{n}K(m) + \frac{n^2-m}{n}\Pi(n,m) \right) && \frac{\text{d}\Pi(n,m)}{\text{d}m} = \frac{1}{2(n-m)}\left(\frac{E(m)}{m-1} + \Pi(n,m)\right) \end{align}</math>

Stammfunktionen

Stammfunktionen für das vollständige elliptische Integral erster, zweiter und dritter Art nach <math>m</math>:

<math>\begin{align}

\int K(m) \,\mathrm{d}m &= 2(m-1)K(m) + 2E(m) \\ \int E(m) \,\mathrm{d}m &= \tfrac23(m-1) K(m) + \tfrac23(m+1)E(m) \\ \int \Pi(n,m) \,\mathrm{d}m &= -2K(m) +2E(m) +2(m-n)\Pi(n,m) \end{align}</math>

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind mit den trigonometrischen Funktionen verwandt. Die Umkehrfunktionen von den unvollständigen elliptischen Integralen erster Art in Legendre-Form sind die Jacobischen Amplitudenfunktionen Sinus Amplitudinis (sn), Cosinus Amplitudinis (cn) und Delta Amplitudinis (dn).

Wenn man von diesen drei Funktionen die Kehrwertfunktionen mit Kürzeln ausdrücken möchte, dann müssen von den soeben gezeigten Funktionskürzeln die beiden Buchstaben jeweils ausgetauscht werden. Wenn eine der drei gezeigten Funktionen als Dividendfunktion durch eine andere von diesen drei Funktionen als Divisorfunktion geteilt wird, dann trägt das zweibuchstabige Kürzel der jeweiligen neuen Funktion an erster Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Dividendfunktion und an zweiter Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Divisorfunktion. Beispielsweise hat der Quotient des Cosinus Amplitudinis dividiert durch das Delta Ampitudinis das Kürzel cd. Denn die Dividendfunktion ist der Cosinus Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel dieser Funktion ist das c. Und die Divisorfunktion ist das Delta Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel jener Funktion ist das d.

Die Jacobischen Amplitudenfunktionen haben genauso wie die trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen Additionstheoreme mit algebraischer Struktur, welche aus den Theoremen der unvollständigen elliptischen Integrale erster Art hervorgehen. Deswegen zählen die sn-Werte, cn-Werte und dn-Werte von den Produkten aus einer rationalen Zahl und dem elliptischen K-Integral des betroffenen Moduls komplett immer zu den algebraischen Zahlen.

Bei den Umkehrfunktionen der unvollständigen elliptischen Integrale zweiter Art ist das jedoch nicht der Fall. Diese inversen elliptischen Integrale zweiter Art haben keine Additionstheoreme mit algebraischer Struktur. Diese Funktionen ordnen die Bogenmaße beziehungsweise Kurvenlängen der Ellipsen den jeweiligen Höhen und Breiten der betroffenen Kurvenpunkte zu.

Unvollständige elliptische Integrale

Datei:Mplwp incomplete ellipticFm.svg

Graph der elliptischen Integrale erster Art <math>F(\varphi, m)</math> in Legendre-Form für verschiedene Parameter <math>m</math>

Datei:Mplwp incomplete ellipticEm.svg

Graph der elliptischen Integrale zweiter Art <math>E(\varphi, m)</math> in Legendre-Form für verschiedene Parameter <math>m</math>

In der nachfolgenden Tabelle sind die Definitionen der unvollständigen elliptischen Integrale in Jacobi-Form und in Legendre-Normalform angegeben. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution <math>t = \sin \vartheta </math> in die Legendre-Normalform überführen. Die unvollständigen elliptischen Integrale besitzen im Vergleich zu den vollständigen elliptischen Integralen einen zusätzlichen Freiheitsgrad, welcher der oberen Integrationsgrenze entspricht. Somit stellen die vollständigen elliptischen Integrale einen Spezialfall der Unvollständigen dar. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter <math>m=k^2</math> und die Legendre-Normalform in Verwendung.

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale

	Konvention mit Parameter <math>k</math>
I. Art: Jacobi-Form	<math>F_{J}(x; k) := \int_{0}^{x} \frac{\mathrm dt}{\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2t^2)}}</math>
I. Art: Legendre-Normalform	<math>F(\varphi;k) := \int_0^\varphi \frac{\mathrm d\vartheta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\vartheta}}</math>
II. Art: Jacobi-Form	<math>E_{J}(x; k) := \int_{0}^{x} \sqrt{\frac{1 - k^2t^2}{1 - t^2}}\, \mathrm dt</math>
II. Art: Legendre-Normalform	<math>E(\varphi,k) := \int_0^\varphi \sqrt{1 - k^2\sin^2\vartheta} \, \mathrm d\vartheta</math>
III. Art: Jacobi-Form	<math>\Pi_{J}(n,x;k) := \int_{0}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{(1 - n\,t^2) \sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)}}</math>
III. Art: Legendre-Normalform	<math>\Pi(n,\varphi;k) := \int_0^\varphi \frac{\mathrm{d}\vartheta}{(1 - n\sin^2\vartheta) \sqrt {1 - k^2\sin^2\vartheta}}</math>

Alternative Darstellungen

Symmetrische Carlson-Formen

Die symmetrischen Carlson-Formen sind eine alternative Menge an Funktionen, durch die die klassischen elliptischen Integrale ausgedrückt werden können. Die moderneren Carlson-Formen wurden erst in den 1960er Jahren erfunden, während die Legendre-Formen bereits 1825 formuliert worden waren. Die Carlson-Formen bieten einige Vorteile gegenüber den klassischen elliptischen Integralen.

Unvollständige elliptische Integrale

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen <math>R_F</math>, <math>R_D</math> und <math>R_J</math> ausgedrückt werden:

<math>F(\varphi, m) = \sin\varphi\; R_F({\cos^2}\varphi,1-{m\sin^2}\varphi,1)</math>

<math>E(\varphi, m) = \sin\varphi\;R_F({\cos^2}\varphi,1-{m\sin^2}\varphi,1) -\tfrac{1}{3}{m\sin^3}\varphi\;R_D({\cos^2}\varphi,1-{m\sin^2}\varphi,1)</math>

<math>\Pi(n, \varphi, m) = \sin\varphi\;R_F({\cos^2}\varphi, 1-{m\sin^2}\varphi,1)+

\tfrac{1}{3}{n\sin^3}\phi\;R_J({\cos^2}\varphi,1-{m\sin^2}\varphi,1,1-{n\sin^2}\varphi)</math>

(für <math>0\le\varphi\le2\pi</math> und <math>0\le {m\sin^2}\varphi\le1</math>)

Vollständige elliptische Integrale

Vollständige elliptischen Integrale erhält man durch Einsetzen von φ = π/2:

<math>K(m) = R_F\left(0,1-m,1\right)</math>

<math>E(m) = R_F\left(0,1-m,1\right)-\tfrac{1}{3}m R_D\left(0,1-m,1\right)</math>

<math>\Pi(n, m) = R_F\left(0,1-m,1\right)+\tfrac{1}{3}n R_J \left(0,1-m,1,1-n\right)</math>

Bulirsch-Integrale

Eine alternative Darstellung der unvollständigen elliptischen Integrale sind die Bulirsch-Integrale.<ref name="Bulirsch1965">Roland Bulirsch: Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions. In: Numerische Mathematik. Band 7, Nr. 1, Februar 1965, ISSN 0029-599X, S. 78–90, doi:10.1007/BF01397975. </ref><ref name="Bulirsch DLMF">NIST Digital Library of Mathematical Functions 19.2: Bulirsch’s Integrals. Abgerufen am 29. November 2022. </ref>

Unvollständige Bulirsch-Integrale

Die unvollständigen Bulirsch-Integrale sind:

<math>\operatorname{el1}(x, k_c) = \int_0^{\arctan x} \frac{1}{\sqrt{{\cos^2}\theta + k_c^2\,{\sin^2}\theta}}\,\mathrm{d}\theta</math>

<math>\operatorname{el2}(x, k_c, a, b) = \int_0^{\arctan x} \frac{a\,{\cos^2}\theta + b\,{\sin^2}\theta}{\sqrt{{\cos^2}\theta + k_c^2\,{\sin^2}\theta}}\,\mathrm{d}\theta</math>

<math>\operatorname{el3}(x, k_c, n_c) = \int_0^{\arctan x} \frac{1}{({\cos^2}\theta + n_c\,{\sin^2}\theta)\sqrt{{\cos^2}\theta + k_c^2\,{\sin^2}\theta}}\,\mathrm{d}\theta</math>

Eine verallgemeinerte Version wurde 1994 zusammen mit einem effizienten Berechnungsalgorithmus eingeführt:<ref name="Fukushima1993">Toshio Fukushima, Hideharu Ishizaki: Numerical computation of incomplete elliptic integrals of a general form. In: Celestial Mechanics & Dynamical Astronomy. Band 59, Nr. 3, Juli 1994, ISSN 0923-2958, S. 237–251, doi:10.1007/BF00692874 (Online). </ref>

<math>\operatorname{el}(x, k_c, n_c, a, b) = \int_0^{\arctan x} \frac{a\cos^2\theta + b\sin^2\theta}{(\cos^2\theta+n_c\sin^2\theta)\sqrt{\cos^2\theta+k_c^2\sin^2\theta}}\,\mathrm{d}\theta</math> .

Relation zu den Legendre-Normalformen:

<math>\begin{align}

F(\varphi, m) &= \operatorname{el1}(\tan\varphi, \sqrt{1-m}) &&= \operatorname{el}(\tan\varphi, \sqrt{1-m}, p, 1, p) \quad,\quad |\varphi|\leq\pi/2,\quad p\text{ beliebig} \\ E(\varphi, m) &= \operatorname{el2}(\tan\varphi, \sqrt{1-m}, 1, 1-m) &&= \operatorname{el}(\tan\varphi, \sqrt{1-m}, 1, 1, 1-m) \quad,\quad |\varphi|\leq\pi/2 \\ \Pi(n, \varphi, m) &= \operatorname{el3}(\tan\varphi, \sqrt{1-m}, 1-n) &&= \operatorname{el}(\tan\varphi, \sqrt{1-m}, 1-n, 1, 1) \quad,\quad |\varphi|\leq\pi/2 \end{align}</math>

Die Bulirsch-Integrale haben den Vorteil, dass bestimmte in der Praxis vorkommende Kombinationen der Legendre-Elliptischen-Integrale als gemeinsame Funktion dargestellt werden können, und damit numerische Instabilitäten und undefinierte Wertebereiche vermieden werden können:<ref name="Fukushima1993" />

<math>\begin{align}

\lambda\,F(\varphi, m) + \mu\,E(\varphi, m) &= \operatorname{el2}(\tan\varphi, \sqrt{1-m}, \lambda+\mu, \lambda+\mu(1-m))\\ \lambda\,F(\varphi, m) + \mu\,\Pi(n, \varphi, m) &= \operatorname{el}(\tan\varphi, \sqrt{1-m}, 1-n, \lambda+\mu, \lambda(1-n)+\mu) \end{align}</math>

<math>\begin{align}

\frac{F(\varphi, m) - E(\varphi, m)}{m} &= \operatorname{el}(\tan\varphi, \sqrt{1-m}, 1, 0, 1)\\ \frac{(m-1)F(\varphi, m) + E(\varphi, m)}{m} &= \operatorname{el}(\tan\varphi, \sqrt{1-m}, 1, 1, 0)\\ \frac{\Pi(n, \varphi, m) - F(\varphi, m)}{n} &= \operatorname{el}(\tan\varphi, \sqrt{1-m}, 1-n, 0, 1) \end{align}</math>

Vollständige Bulirsch-Integrale

Die vollständigen Bulirsch-Integrale sind

<math>\operatorname{cel1}(k_c) = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{{\cos^2}\theta + k_c^2\,{\sin^2}\theta}}\,\mathrm{d}\theta</math>

<math>\operatorname{cel2}(k_c, a, b) = \int_0^{\pi/2} \frac{a\,{\cos^2}\theta + b\,{\sin^2}\theta}{\sqrt{{\cos^2}\theta + k_c^2\,{\sin^2}\theta}}\,\mathrm{d}\theta</math>

<math>\operatorname{cel3}(k_c, n_c) = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{({\cos^2}\theta + n_c\,{\sin^2}\theta)\sqrt{{\cos^2}\theta + k_c^2\,{\sin^2}\theta}}\,\mathrm{d}\theta</math>

und das verallgemeinerte vollständige Bulirsch-Integral<ref name="Bulirsch DLMF" />

<math>\operatorname{cel}(k_c, n_c, a, b) = \int_0^{\pi/2} \frac{a\cos^2\theta + b\sin^2\theta}{(\cos^2\theta+n_c\sin^2\theta)\sqrt{\cos^2\theta+k_c^2\sin^2\theta}}\,\mathrm{d}\theta</math> .

Es gilt<ref name="Bulirsch1969">Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions. III. In: Numerische Mathematik. Band 13, Nr. 4, 1969, S. 305–315, doi:10.1007/BF02165405. </ref>

<math>\begin{align}

K(m) &= \operatorname{cel1}(\sqrt{1-m}) &&= \operatorname{cel}(\sqrt{1-m}, p, 1, p) \quad,\quad p\text{ beliebig} \\ E(m) &= \operatorname{cel2}(\sqrt{1-m}, 1, 1-m) &&= \operatorname{cel}(\sqrt{1-m}, 1, 1, 1-m) \\ \Pi(n, m) &= \operatorname{cel3}(\sqrt{1-m}, 1-n) &&= \operatorname{cel}(\sqrt{1-m}, 1-n, 1, 1) \end{align}</math> Linearkombinationen vollständiger Legendre-Integrale:

<math>\begin{align}

\lambda\,K(m) + \mu\,E(m) &= \operatorname{cel}(\sqrt{1-m}, 1, \lambda+\mu, \lambda+\mu(1-m))\\ \lambda\,K(m) + \mu\,\Pi(n, m) &= \operatorname{cel}(\sqrt{1-m}, 1-n, \lambda+\mu, \lambda(1-n)+\mu) \end{align}</math>

<math>\begin{align}

\frac{K(m) - E(m)}{m} &= \operatorname{cel}(\sqrt{1-m}, 1, 0, 1) \\ \frac{(m-1)K(m) + E(m)}{m} &= \operatorname{cel}(\sqrt{1-m}, 1, 1, 0) \\ \frac{\Pi(n, m) - K(m)}{n} &= \operatorname{cel}(\sqrt{1-m}, 1-n, 0, 1) \end{align}</math>

<math>\begin{align}

\operatorname{cel}(k_c, 1, a, b) &= \frac{a-b}{1-k_c^2}\,E(1-k_c^2) + \frac{b-a\,k_c^2}{1-k_c^2}\,K(1-k_c^2) \\ \operatorname{cel}(k_c, n_c, a, b) &= \frac{a-b}{1-n_c}\,K(1-k_c^2) + \frac{b-a\,n_c}{1-n_c}\,\Pi(1-n_c, 1-k_c^2) \end{align}</math>

Numerische Auswertung

Die elliptischen Integrale können mit Hilfe des oben genannten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM) effizient berechnet werden. Sie können auch zur Auswertung in die symmetrische Carlson-Form überführt werden.<ref name="NumericalRecipes">W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. Hrsg.: Cambridge University Press. 3. Auflage. New York 2007, ISBN 978-0-521-88068-8, Section 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions. </ref> Zur numerischen Auswertung der Carlson-Formen existieren zum AGM ähnliche Algorithmen.<ref>B. C. Carlson: Numerical computation of real or complex elliptic integrals. In: Numerical Algorithms. Band 10, Nr. 1, März 1995, ISSN 1017-1398, S. 13–26, doi:10.1007/bf02198293. </ref> Eine Annäherung mit Hilfe von gebrochenrationalen Funktionen höherer Ordnung ist auch möglich.<ref>Cephes Mathematical Library. Abgerufen am 29. November 2022. </ref> Zu den derzeit effizientesten Verfahren gehört die Auswertung mit Hilfe des Bulirsch-Algorithmus.<ref name="Fukushima2014">Toshio Fukushima: Applications and Experiments. DE GRUYTER, 31. Dezember 2014, Elliptic functions and elliptic integrals for celestial mechanics and dynamical astronomy, S. 187–226, doi:10.1515/9783110345667.187. </ref>

Bezug zur Eulerschen Betafunktion

Zwischen den vollständigen elliptischen Integralen, der Gammafunktion und der Eulerschen Betafunktion besteht ein enger Zusammenhang. Für <math>n\in\N</math> gilt

<math>

\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}} = \frac{1}{n}\, \mathrm{B}\!\left(\frac1n,\frac12\right). </math>

Für einige spezielle Werte von <math>n</math> lässt sich dieses Integral zusätzlich durch vollständige elliptische Integrale erster Art ausdrücken. Besonders bedeutsam sind dabei der lemniskatische und der äquianharmonische Fall, die in der Theorie der elliptischen Funktionen eine wichtige Rolle spielen.<ref>Mathematics. How to integrate <math>\textstyle\int\frac{1}{\sqrt{1+x^3.  \mathrm dx</math>? |sprache=en |abruf=2022-11-29 |kommentar=Chat}}</ref><ref>Eric W. Weisstein: Lemniscate Function. Abgerufen am 3. Dezember 2022 (). </ref><ref>Eric W. Weisstein: Lemniscate. Abgerufen am 3. Dezember 2022 (). </ref><ref>Question. Numerically computing <math>\textstyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^4.  dx</math> |sprache=en |abruf=2022-11-29}}</ref>

Legendresche Identität

Das vollständige elliptische Integral erster Art (Jacobische Viertelperiode) und das vollständige elliptische Integral zweiter Art zu einem Modul <math>k</math> und dem komplementären Modul <math>k' = \sqrt{1-k^2}</math> sind durch die Legendresche Identität miteinander verbunden.<ref>Paraman, Singh Noida, Uttar Pradesh, India: π(PI) and the AGM: Legendre's Identity. Abgerufen am 11. November 2025 (). </ref><ref>Legendre-Relation. Abgerufen am 29. November 2022. </ref><ref>Legendre Relation. Abgerufen am 29. November 2022. </ref>

<math>K(k) \, E(\sqrt{1-k^2}) + E(k) \, K(\sqrt{1-k^2}) - K(k) \, K(\sqrt{1-k^2}) = \tfrac{1}{2}\pi</math>

Beispielsweise gilt:

<math>K(\tfrac{3}{5})E(\tfrac{4}{5}) + E(\tfrac{3}{5})K(\tfrac{4}{5}) - K(\tfrac{3}{5})K(\tfrac{4}{5}) = \tfrac{1}{2}\pi</math>

Eine ähnliche Aussage für die Module <math>k</math> und <math>\tfrac{1-k}{1+k}</math> kann durch Anwendung der Landenschen Modultransformation gefolgert werden.

<math>(1+k) \, K(k) \, E(\tfrac{1-k}{1+k}) + \tfrac{2}{1+k} E(k) \, K(\tfrac{1-k}{1+k}) - 2K(k) \, K(\tfrac{1-k}{1+k}) = \tfrac{1}{2} \pi</math>

Beispielsweise gilt:

<math>\tfrac{4}{3}K(\tfrac{1}{3})E(\tfrac{1}{2}) + \tfrac{3}{2}E(\tfrac{1}{3})K(\tfrac{1}{2}) - 2K(\tfrac{1}{3})K(\tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{2}\pi</math>

Ramanujansche Kreiszahlformeln

Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan erforschte sie und schrieb in seinen Aufzeichnungen im Jahre 1914 exemplarische Resultate dieser Formeln nieder, die zur Ermittlung sehr schnell konvergierender Reihen für die Kreiszahl dienen.

Ausgangspunkt der Überlegungen ist die folgende Reihenentwicklung einer speziellen hypergeometrischen Funktion:

<math>{}_{3}F_{2}\bigl[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4};1,1;x^2\bigr] = \sum_{m = 0}^{\infty} \,\frac{(4m)!}{256^{m}(m!)^4} \,x^{2m}</math>

Zur Vereinfachung der Rechenausdrücke wird die Abkürzung <math>R(x) := {}_{3}F_{2}\bigl[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4};1,1;x^2\bigr]</math> verwendet. Diese Funktion löst folgende Differentialgleichung:

<math>\frac{K'\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin(x)\bigr]\bigr\}}{8K\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin(x)\bigr]\bigr\}}\biggl\{2(1+\sqrt{1+x})(1+\sqrt{1-x}) \, R(x) + x\sqrt{1 - x^2} \, R'(x) \biggr\}</math> <math>- \, \frac{4E\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin(x)\bigr]\bigr\} K'\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin(x)\bigr]\bigr\} - \pi}{16K\bigl\{\tan\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin(x)\bigr]\bigr\}^2}(2+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}) \, R(x) = \frac{1}{\pi}</math>

Durch Einsetzen des Wertes <math>x = \tfrac{1}{9801}</math> in diese Differentialgleichung folgt:

<math>\frac{2206\sqrt{2}}{9801} \, R\left(\tfrac{1}{9801}\right) + \frac{26390\sqrt{2}}{96059601} \, R'\left(\tfrac{1}{9801}\right) = \frac{1}{\pi}</math>

Die hier gezeigte Gleichung führt direkt zur bekanntesten Kreiszahlformel, durch welche Srinivasa Ramanujan Weltruhm erlangte:

<math>\frac{1}{\pi} = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{2\sqrt{2} \, (4m)! \, (1103 + 26390m)}{9801(m!)^4 \, 396^{4m}}</math>

Die folgende Tabelle zeigt weitere Kreiszahlformeln, die sich auf entsprechende Weise herleiten lassen:

Elliptischer Modul	Kreiszahlformel
<math> x = \frac{1}{3}</math>	<math> \frac{1}{\pi} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4n)! \, (1 + 8n)}{2\sqrt{3} \, (n!)^4 \, 48^{2n}} </math>
<math>x = \frac{1}{9}</math>	<math>\frac{1}{\pi} = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{2\sqrt{2} \, (4m)! \,(1 + 10m)}{9(m!)^4 \, 12^{4m}}</math>
<math> x = \frac{1}{49} </math>	<math> \frac{1}{\pi} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{3\sqrt{3} \, (4n)! \,(3 + 40n)}{49 (n!)^4 \, 28^{4n}} </math>
<math> x = \frac{1}{99} </math>	<math> \frac{1}{\pi} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4n)! \, (19 + 280n)}{18\sqrt{11} \, (n!)^4 \, 1584^{2n}} </math>

Die Mathematiker Borwein, Bailey und Beeler schrieben Ramanujans wichtigste Formeln sukzessiv in ihren Werken nieder und erläuterten zusätzlich Ramanujans Recherchen zu den elliptischen Integralen erster und zweiter Art sowie zu den hypergeometrischen Funktionen und ihren zugehörigen Differentialgleichungen. Das beschriebene Verfahren diente als Grundlage für die sogenannten Chudnovsky-Algorithmen, die nach den Mathematikern David und Gregory Chudnovsky benannt sind.

Anwendungsbeispiele

Umfang einer Ellipse

Eine klassische Anwendung ist die Berechnung des Umfangs einer Ellipse (mit <math>a > b</math>). Sie hat die Parameterdarstellung

<math>\mathbf{x}(\varphi) = \begin{pmatrix} a \cos\varphi\\ b \sin\varphi \end{pmatrix} \quad \text{mit} \quad 0 \le \varphi \le 2 \pi</math>.

Die numerische Exzentrizität der Ellipse ist <math>\varepsilon = \frac{e}{a} = \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}</math>.

Für den Umfang der Ellipse (Bogenlänge) ergibt sich:

<math>\begin{align}

U &= \int_0^{2\pi} \left|\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}\varphi}\right|\right| \mathrm{d}\varphi\\ &= \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2 \sin^2\varphi + b^2 \cos^2\varphi} \, \mathrm{d}\varphi\\ &= 4 a \int_0^{\pi/2} \sqrt{\sin^2\varphi + \frac{b^2}{a^2} \cos^2\varphi} \, \mathrm{d}\varphi\\ &= 4 a \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \frac{a^2-b^2}{a^2} \cos^2\varphi} \, \mathrm{d}\varphi\\ &= 4 a \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \varepsilon^2 \cos^2\varphi} \, \mathrm{d}\varphi \end{align}</math>

Durch die Substitution <math>t = \tfrac{\pi}{2} - \varphi</math> lässt sich dieser Rechenausdruck wegen <math>\cos\varphi = \cos(\tfrac{\pi}{2} - t) = \sin t</math> durch ein vollständiges Integral zweiter Art ausdrücken:

<math>U = - 4 a \int_{\pi/2}^0 \sqrt{1 - \varepsilon^2 \sin^2 t} \, \mathrm{d}t = 4 a \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - \varepsilon^2 \sin^2 t} \, \mathrm{d}t = 4 a \cdot E (\varepsilon)</math>

Eine weitere Formel für den Ellipsenumfang ist

<math>U = 4 (a+b) E\left(\frac{a-b}{a+b}\right) - \frac{8ab}{a+b}K\bigl(\frac{a-b}{a+b}\bigr)</math>.

Allgemeiner lässt sich die Länge des Ellipsenbogens zwischen dem Hauptscheitel <math>(a,0)</math> und dem Ellipsenpunkt <math>(a \cos\psi, b \sin\psi)</math> auf ein unvollständiges elliptisches Integral zweiter Art zurückführen:

<math>s(\psi) = \int_{0}^{\psi} \sqrt{a^2 \sin^2\varphi + b^2 \cos^2\varphi} \, \mathrm{d}\varphi = a \cdot E\left( \psi, \, \varepsilon \right)</math>

Umfang und Flächeninhalt einer Cassinischen Kurve

Für Cassinische Kurven lassen sich Umfang und Flächeninhalt im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Bei ihrer Berechnung treten vielmehr vollständige elliptische Integrale erster beziehungsweise zweiter Art auf. Für den Fall <math>a<c</math> besitzt die Cassinische Kurve die kartesische Gleichung

<math>

(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=c^4-a^4 </math>,

wobei <math>a</math> die Brennweite und <math>c</math> der Abstand zwischen einem Brennpunkt und dem Schnittpunkt der Kurve mit der Ordinatenachse ist.

Der Umfang ergibt sich zu

<math>

U=4c\,K\!\left(\sin\!\left(\frac12\arcsin\!\left(\frac{a^2}{c^2}\right)\right)\right) </math>,

während für den Flächeninhalt gilt

<math>

A=2c^2E\!\left(\frac{a^2}{c^2}\right) </math>.

Mathematisches Pendel

Eine klassische Anwendung der elliptischen Integrale ist die exakte Bewegung eines Pendels für den Fall, bei welchem die Aspekte der Reibung und Trägheit außer Acht gelassen werden. Basierend auf der Differentialgleichung des mathematischen Pendels kann folgendes Rechenverfahren durchgeführt werden:

<math> \alpha = - \frac{g}{l}\sin(\varphi)</math>

<math> 2\alpha\omega = -2\omega\frac{g}{l}\sin(\varphi)</math>

Durch Integration bezüglich der Zeit aus der zuletzt genannten Formel entsteht dann folgender Ausdruck:

<math> \omega^2 = 2\frac{g}{l}\bigl[\cos(\varphi) - \cos(\varphi_{\text{max}})\bigr]</math>

<math> \omega^2 = 4\frac{g}{l}\bigl[\sin\bigl(\frac{1}{2}\varphi_{\text{max}}\bigr)^2 - \sin\bigl(\frac{1}{2}\varphi\bigr)^2\bigr]</math>

<math> \frac{1}{\omega} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}\bigl[\sin\bigl(\frac{1}{2}\varphi_{\text{max}}\bigr)^2 - \sin\bigl(\frac{1}{2}\varphi\bigr)^2\bigr]^{-1/2}</math>

Die Schwingungsdauer bei gegebenem Maximalauslenkungswinkel und gegebener Fadenlänge kann auf folgende Weise berechnet werden. Dazu wird ein vollständiges elliptisches Integral erster Art benötigt.

<math> T(\varphi_{\text{max}}) = 4\int_{0}^{\varphi_{\text{max}}}\frac{1}{\omega} \,\mathrm{d}\varphi</math>

<math> T(\varphi_{\text{max}}) = 4\int_{0}^{\varphi_{\text{max}}} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}\bigl[\sin\bigl(\frac{1}{2}\varphi_{\text{max}}\bigr)^2 - \sin\bigl(\frac{1}{2}\varphi\bigr)^2\bigr]^{-1/2} \,\mathrm{d}\varphi</math>

<math> T(\varphi_\max) = 4\sqrt{\frac l g}\,K\bigl[\sin(\tfrac{1}{2}\varphi_\max)\bigr] = 4\sqrt{\frac l g}\,\sec(\tfrac{1}{4}\varphi_\max)^2\,K\bigl[\tan(\tfrac{1}{4}\varphi_\max)^2\bigr]</math>

Dabei ist g ≈ 9,81 m/s² die Fallbeschleunigung der Erde.

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung

Eine klassische Problemstellung aus der Elektrostatik ist die Berechnung des elektrischen Skalarpotentials <math>\varphi_e</math> bei gegebener räumlicher Ladungsverteilung. Bei einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung lässt sich das elektrische Skalarpotential mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art beschreiben. Das Ergebnis ist hier mit der Legendre-Konvention <math>K(k)</math> angegeben. In der angegebenen Lösung repräsentiert <math>Q</math> die elektrische Gesamtladung, <math>R</math> den Radius des Ringes und <math>\varepsilon_0</math> die Vakuum-Permittivität. Weiterhin ist das Skalarpotential mit den Zylinderkoordinaten <math>(\rho, \varphi, z)</math> angegeben. Da keine Abhängigkeit bezüglich der Azimut-Koordinate <math>\varphi</math> besteht, ist ersichtlich, dass es sich um eine zylindersymmetrische Problemstellung handelt.

<math>\begin{align}

\varphi_e(\rho, z) &= \frac{Q}{4\pi^2 \varepsilon_0} \int_{0}^{\pi} \frac{\text{d}\varphi}{\sqrt{\rho^2+z^2+R^2-2R\rho\cos(\varphi)}}\\ &= \frac{Q}{4\pi^2 \varepsilon_0} \int_{0}^{\pi} \frac{\text{d}\varphi}{\sqrt{(\rho + R)^2+z^2-4R\rho\cos(\varphi/2)^2}}\\ &= \biggl\{-\frac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{\sqrt{(\rho+R)^2 + z^2}} \cdot F\biggl[\frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2};\frac{2\sqrt{R\rho}}{\sqrt{(\rho+R)^2 + z^2}}\biggr]\biggr\}_{\varphi = 0}^{\varphi = \pi}\\ &= \frac{Q}{2\pi^2 \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{\sqrt{(\rho+R)^2 + z^2}} \cdot K\biggl[\frac{2\sqrt{R\rho}}{\sqrt{(\rho+R)^2 + z^2}}\biggr] \end{align}</math>

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Dipolverteilung

Neben der einfachen Ladungsverteilung besteht ebenfalls die Möglichkeit, eine ringförmige Verteilung axial ausgerichteter Dipole zu betrachten. Die Lösung des elektrischen Skalarpotentials ist im Folgenden angegeben. Dabei repräsentiert <math>p_z</math> die <math>z</math>-Komponente des elektrischen Dipolmoments, <math>R</math> den Radius des Ringes und <math>\varepsilon_0</math> die Vakuum-Permittivität. Bei der nun behandelten Ladungsverteilung lässt sich das elektrische Skalarpotential mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals 2. Art beschreiben. Das Ergebnis ist hier mit der Legendre-Konvention <math>E(k)</math> angegeben.

<math>\begin{align}

\varphi_e(\rho, z) &= \frac{p_z\cdot z}{4\pi^2 \varepsilon_0} \int_{0}^{\pi} \frac{\text{d}\varphi}{\sqrt{[\rho^2+z^2+R^2-2R\rho\cos(\varphi)]^3}}\\ &= \frac{p_z\cdot z}{4\pi^2 \varepsilon_0} \int_{0}^{\pi} \frac{\text{d}\varphi}{\sqrt{[(\rho + R)^2+z^2-4R\rho\cos(\varphi/2)^2]^3}}\\ &= \biggl\langle \frac{p_z \cdot z}{2\pi^2 \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{[(\rho-R)^2 + z^2] \cdot [(\rho+R)^2 + z^2]}\biggl\{\frac{2R\rho\sin(\varphi)}{\sqrt{\rho^2+z^2+R^2-2R\rho\cos(\varphi)}} - \sqrt{(\rho+R)^2 + z^2}\,E\biggl[\frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2};\frac{2\sqrt{R\rho}}{\sqrt{(\rho+R)^2 + z^2}}\biggr]\biggr\}\biggr\rangle_{\varphi = 0}^{\varphi = \pi}\\ &= \frac{p_z \cdot z}{2\pi^2 \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{[(\rho-R)^2 + z^2] \cdot \sqrt{(\rho+R)^2 + z^2}} \cdot E\biggl[\frac{2\sqrt{R\rho}}{\sqrt{(\rho+R)^2 + z^2}}\biggr] \end{align}</math>

Magnetisches Vektorpotential eines ringförmigen stromdurchflossenen Leiters

Ein Beispiel aus der Magnetostatik stationärer Ströme stellt die Berechnung des Magnetfeldes eines stromdurchflossenen Ringleiters dar. Es bietet sich die Berechnung des magnetischen Vektorpotentials <math>\boldsymbol{A}</math> an, aus dem sich in weiterer Betrachtung mit Hilfe der Rotation die magnetische Flussdichte bestimmen lässt. Hier repräsentiert <math>I</math> die elektrische Stromstärke, <math>R</math> den Radius des Ringleiters und <math>\mu_0</math> die Vakuum-Permeabilität. Weiterhin ist das magnetische Vektorpotential mit den Zylinderkoordinaten <math>(\rho, \varphi, z)</math> und mit dem Einheits-Basisvektor <math>\boldsymbol{e}_\varphi</math> in azimutaler Richtung angegeben. Die Lösung stellt sich durch eine Kombination von vollständigem elliptischen Integral 1. und 2. Art dar. Das Ergebnis ist hier mit der Legendre-Konvention <math>K(k)</math> und <math>E(k)</math> angegeben. Zur numerischen Auswertung der angegebenen Funktion eignet sich besonders das weiter oben angegebene Bulirsch-Integral <math>\operatorname{cel}()</math>. Der Vorteil ist eine höhere numerische Stabilität in der Umgebung <math>\rho = 0</math>.<ref>Peter Lowell Walstrom: Algorithms for Computing the Magnetic Field, Vector Potential, and Field Derivatives for Circular Current Loops in Cylindrical Coordinates. Office of Scientific and Technical Information (OSTI), 24. August 2017, doi:10.2172/1377379. </ref>

<math>\begin{align}

\boldsymbol{A}(\rho, z) &= \boldsymbol{e}_\varphi \cdot \frac{\mu_0 I R}{2\pi} \cdot \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(\varphi) \; \text{d}\varphi}{\sqrt{\rho^2 + z^2+ R^2 - 2R\rho\cos(\varphi)}}\\ &= \boldsymbol{e}_\varphi \cdot \frac{\mu_0 I}{2\pi}\cdot \frac{1}{\rho} \left\{\frac{\rho^2+R^2+z^2}{\sqrt{(\rho+R)^2 + z^2}} K\biggl[\frac{2\sqrt{R\rho}}{\sqrt{(\rho+R)^2 + z^2}}\biggr] - \sqrt{(\rho+R)^2 + z^2} E\biggl[\frac{2\sqrt{R\rho}}{\sqrt{(\rho+R)^2 + z^2}}\biggr]\right\} \end{align}</math>

Literatur

• Irene Stegun und Milton Abramowitz: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. Dover, New York 1972. Seite 589 ff.
• Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press, 1924, archive.org.
• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. A study in analytical Number Theory and Computational Complexity. John Wiley & Sons, 1987.
• Harris Hancock: Elliptic Integrals. John Wiley & Sons, 1917.
• P. F. Byrd, M. D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. Springer-Verlag, 1971.
• Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. AMS, 1997.
• Mümtaz Karataş: A multi foci closed Curve: Cassini Oval, its properties and applications. Naval Postgraduate School, Monterey, Kalifornien, 2013, pp. 231–248
• Kejing He, Xiaoqiang Zhou, Qian Lin: High accuracy complete elliptic integrals for solving the Hertzian elliptical contact problems. In: Computers and Mathematics with Applications. Band 73, Nr. 1, 2017, S. 122–128, doi:10.1016/j.camwa.2016.11.003. 
• Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.
• Peter Borwein, Jonathan Borwein und David Bailey: Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi, or How to Compute One Billion Digits of Pi. Amer. Math. Monthly 96, 201-219, 1989.
• Mark B. Villarino: Legendre’s Singular Modulus. Escuela de Matem ́atica, Universidad de Costa Rica, 11501 San Jos ́e, Costa Rica, 2020.
• Beeler, M. et al. Item 140 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 69, Feb. 1972 (inwap.com).
• Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.
• Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.

Weblinks

• Elliptic Integrals. Bei: dlmf.nist.gov. (NIST Digital Library of Mathematical Functions).
• Eric W. Weisstein: Elliptic Integral. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

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