Epsilon-Induktion

Unter Epsilon-Induktion (auch ∈-Induktion) versteht man in der Mathematik ein spezielles Beweisverfahren der Mengenlehre. Gilt es zu beweisen, dass eine Aussage <math>A</math> für alle Mengen gilt, so reicht es laut Epsilon-Induktion zu zeigen, dass sie für die Mengen gilt, für deren Elemente sie gilt. Präzise ausgedrückt besagt die Epsilon-Induktion also

<math>\forall x ((\forall y\in x. A(y))\rightarrow A(x))\rightarrow \forall x A(x).</math>

Ihren Namen hat die Epsilon-Induktion dem griechischen Kleinbuchstaben ε zu verdanken, aus dem sich das heutige Elementzeichen entwickelte.

Verhältnis zu Regularität[Bearbeiten]

Die Gültigkeit der Epsilon-Induktion lässt sich für jedes <math>A</math> in ZF beweisen und das Auswahlaxiom ist dafür nicht notwendig.

Maßgeblich geht in den Beweis das klassische Regularitätsaxiom ein. Die Epsilon-Induktion ist ein Axiomenschema, während das Regularitätsaxiom ein einziges Axiom ist, welches nur Mengen betrifft. Es lässt sich dennoch sogar zeigen, dass die Epsilon-Induktion zum Regularitätsaxiom äquivalent ist. Das heißt, tauschte man in ZF das Regularitätsaxiom gegen die Epsilon-Induktion aus, so entstünde ein äquivalentes Axiomensystem. Das Unendlichkeitsaxiom spielt im Beweis der Äquivalenz ebenfalls eine wesentliche Rolle.

Beweis[Bearbeiten]

Zum Beweis der Epsilon-Induktion für <math>A</math> betrachtet man eine transitive Menge.

Für eine gegebene Menge <math>x</math> existiert in ZF die transitive Hülle <math>TC(x)</math>, welche auch <math>x</math> als Teilmenge enthält. Man betrachtet damit weiters die Menge

Der Beweis geht von der erfüllten Induktions-Voraussetzung für <math>A</math> aus und demonstriert die Induktions-Behauptung durch herbeiführen eines Widerspruchs im Falles deren Negation: Wäre die Epsilon-Induktion falsch, dann gäbe es eine Menge <math>x</math> für die <math>\neg A(x)</math> gilt. Damit gilt auch <math>x\in M</math>, sodass <math>M</math> nicht leer ist. Somit liefert die Regularität von <math>M</math> ein epsilon-minimales Element <math>m \in M</math>, also ein Element mit <math>\neg A(m)</math> welches einen leeren Schnitt mit <math>M</math> hat. Jedes Element von <math>m</math> ist aufgrund der Transitivität von <math>TC(x)</math> wieder in <math>TC(x)</math>, kann aber wegen der Epsilon-Minimalität von <math>m</math> nicht auch in <math>M</math> sein. Da <math>M</math> durch die Negation des Prädikats <math>A</math> charakterisiert ist gilt für alle <math>z\in m</math> die Aussage <math>A(z)</math>. Die Implikation in der Voraussetzung des Induktions-Schemas liefert damit aber wiederum <math>A(m)</math>, im Widerspruch zum etablierten <math>\neg A(m)</math>.

Anwendung[Bearbeiten]

Die Epsilon-Induktion wird zum Beispiel dafür benutzt, zu zeigen, dass jede Menge in der Von-Neumann-Hierarchie enthalten ist. Zu jeder Menge <math>x</math> findet man also eine Ordinalzahl <math>\alpha</math> mit <math>x\in V_\alpha</math>. In dem entsprechenden Beweis ist die Aussage <math>A(x)</math> also durch

<math>A(x) \equiv \exists \alpha\in \operatorname{Ord} . x\in V_\alpha</math>

definiert.

Literatur[Bearbeiten]

Thomas Jech: Set Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-44085-2.