Transitive Hülle (Menge)

Die transitive Hülle einer Menge <math>X</math> (oft mit <math>TC(X)</math> für transitive closure bezeichnet) ist die kleinste Obermenge von <math>X</math>, die transitiv ist. Die Existenz und Eindeutigkeit lassen sich in ZF (das Auswahlaxiom ist dafür nicht notwendig) beweisen. Maßgeblich gehen dabei das Ersetzungsschema und Unendlichkeitsaxiom ein. Da <math>TC(X)</math> die kleinste transitive Obermenge von <math>X</math> ist, gilt <math>TC(X)=X</math> genau dann, wenn <math>X</math> transitiv ist.

Konstruktion[Bearbeiten]

Durch Induktion über <math>\mathbb{N}</math> lässt sich zeigen, dass für jede Menge <math>X</math> eine Funktion <math>f_X</math><ref name="adhoc"><math>f_X, M_X</math> sind ad-hoc-Bezeichnungen</ref> mit <math>\operatorname{dom}(f_X)=\mathbb{N}_0</math> existiert, die

<math>f_X(0)=X</math>
<math>\forall n\in\mathbb{N}_0: f_X(n+1)=\bigcup f_X(n)</math>

erfüllt. Das Ersetzungsschema sichert nun die Existenz der Menge

<math>M_X:=\{f_X(n)|n\in\mathbb{N}_0\}</math><ref name="adhoc" />

und aufgrund des Vereinigungsaxioms<ref group="A">Das Vereinigungsaxiom wurde natürlich schon vorher zum Existenzbeweis der Funktion <math>f_X</math> benötigt.</ref> existiert

<math>\bigcup M_X</math>,

welchem man schnell die von <math>TC(X)</math> geforderten Eigenschaften nachweist. Es gilt also

<math>TC(X)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}_0} f_X(n)</math>.

Bemerkungen[Bearbeiten]

Es wird hier eine iterierte Mengenvereinigung definiert, nämlich

<math>f_X(n) = {\bigcup}^n X</math>, speziell <math>X=\{x|x \in X\},\ \;\bigcup X = \{x|(\exist y \in X) x \in y\}</math>.

Fasst man die Element-Relation <math>\in</math> als homogene Relation auf, dann steht auf der rechten Seite gerade die n-fache Verkettung von <math>\in</math> mit sich selbst, also deren n. Potenz <math>{\in}^n</math> (siehe Relation §Homogene Relationen: Potenzen). Damit kann weiter vereinfacht werden zu

<math>f_X(n) = {\bigcup}^n X = \{x|x {\in}^{n+1} X\}</math>, sowie

<math>M_X = \{ {\bigcup}^n X|n \in \N_0\} = \{ X, \bigcup X, \bigcup \bigcup X, \bigcup \bigcup \bigcup X, \bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X, \ldots \}</math>.

Die transitive Hülle wird dann zu

<math>TC(X) = \bigcup M_X = \bigcup_{n=1}^\infty \{x|x\in^n X\} = \bigcup_{n=0}^\infty {\bigcup}^n X</math>.<ref name="Huelle">Mit <math>\in</math> aufgefasst als homogene Relation und <math>{\in}^+ := \textstyle\bigcup_{n\in{\N}} {\in}^n</math> lässt sich die transitive Hülle auch noch verstehen als

<math>TC(X) = \{x|x {\in}^+ X\}</math>.

Siehe z. B. G. O’Regan: <math>R^* := \textstyle\bigcup_{n\in{\N_0}} R^n,\ \;R^+ := \textstyle\bigcup_{n\in{\N}} R^n</math> für homogene Relationen <math>R</math>, Gerard O’Regan: Guide to Discrete Mathematics. Sets, Relations and Functions (= Texts in Computer Science (TCS)). Springer International Publishing, Schweiz 2016, S. 25–51, hier S. 39, doi:10.1007/978-3-319-44561-8_2 (springer.com [PDF; 1000 kB]). </ref><ref>Using Replacement to prove transitive closure is a set without recursion, auf: StackExchange Mathematics, Stand: 2018</ref>

Anwendung[Bearbeiten]

In vielen Beweisen in der Mengenlehre braucht man für ein bestimmtes Argument die Transitivität einer Menge. Kann man zusätzlich zeigen, dass die Aussage für eine Menge <math>X</math> gilt, wenn man eine Obermenge <math>Y\supseteq X</math> findet, für die sie gilt, so bietet es sich an, von <math>X</math> zur transitiven Hülle überzugehen.

Eine ähnliche Vorgehensweise findet man zum Beispiel im Beweis des Epsilon-Induktions-Verfahren wieder.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Sei <math>X</math> eine Menge mit einer homogene Relation <math>R</math> darauf. Die <math>R</math>-transitive Hülle ist dann gegeben durch

<math>TC_R(X) := \bigcup_{n=0}^\infty \{x|(\exist y\in X)x\,R^n y\} = \{x|(\exist y\in X)x\,R^* y\}</math> <ref name="Huelle" /><ref>Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31. Die dort angegebene Definition ähnelt der hier unter Konstruktion angegebenen, und wurde aber in eine äquivalente, leichter lesbare überführt.</ref>

Dies ist das Urbild von <math>X</math> unter <math>R^*</math>, der reflexiv-transitiven Hülle der Relation <math>R</math>. <math>TC_R(X)</math> ist die kleinste Obermenge von <math>X</math>, die <math>R</math>-transitiv ist. Im Fall <math>R = \in</math> repliziert die verallgemeinerte Definition den obigen Spezialfall.

Siehe auch[Bearbeiten]

Transitive Hülle (Relation)

Anmerkungen[Bearbeiten]