Freie Poisson-Verteilung

In der freien Wahrscheinlichkeitstheorie ist die freie Poisson-Verteilung das Gegenstück zu der Poisson-Verteilung aus der üblichen Wahrscheinlichkeitstheorie.

Definition

Die freie Poisson-Verteilung<ref>Lectures on the Combinatorics of Free Probability by A. Nica and R. Speicher, pp. 203–204, Cambridge Univ. Press 2006</ref> mit Parametern <math>\alpha</math> und <math>\lambda</math> ergibt sich in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie als der Grenzwert der iterierten freien Faltung

<math>

\left( \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)\delta_0 + \frac{\lambda}{N}\delta_\alpha\right)^{\boxplus N}</math>

für <math>N \to \infty</math>.

Genauer: Seien <math>X_N</math> Zufallsvariable, so dass <math>X_N</math> den Wert <math>\alpha</math> mit Wahrscheinlichkeit <math>\lambda/N</math> und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit <math>1-\lambda/N</math> annimmt. Sei weiterhin die Familie <math>X_1,X_2,\ldots</math> frei unabhängig im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie. Dann ist die Verteilung von <math>X_1+\cdots +X_N</math> im Grenzwert <math>N\to\infty</math> durch eine freie Poisson-Verteilung mit den Parametern <math>\alpha</math> und <math>\lambda</math> gegeben.

Diese Definition ist analog zu einem entsprechenden Grenzwertsatz für die klassische Poisson-Verteilung bezüglich der klassischen Faltung.

Explizite Form

Explizit hat die freie Poisson-Verteilung folgende Form<ref>James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Vol. 35, Springer, New York, 2017.</ref>

<math>\mu=\begin{cases} (1-\lambda) \delta_0 + \nu,& \text{wenn } 0\leq \lambda \leq 1 \\

\nu, & \text{wenn }\lambda >1, \end{cases} </math>

wobei

<math>\nu = \frac{1}{2\pi\alpha t}\sqrt{4\lambda \alpha^2 - ( t - \alpha (1+\lambda))^2} \, dt</math>

den Träger <math>[\alpha (1-\sqrt{\lambda})^2,\alpha (1+\sqrt{\lambda})^2]</math> hat. Ihre freien Kumulanten sind gegeben durch <math>\kappa_n=\lambda\alpha^n</math>.

Zusammenhang mit Zufallsmatrizen

Die freie Poisson-Verteilung taucht in der Theorie der Zufallsmatrizen als Marchenko-Pastur-Verteilung auf.

Einzelnachweise

<references />