Heegaard-Zerlegung

In der Mathematik sind Heegaard-Zerlegungen ein wichtiges Hilfsmittel der 3-dimensionalen Topologie. Sie sind nach dem dänischen Mathematiker Poul Heegaard benannt.<ref>P.Heegaard: Forstudier til en topologisk teori for de algebraiske fladers sammenhaeng, Dissertation, Kopenhagen 1898.</ref>

Definition

Eine Heegaard-Zerlegung einer geschlossenen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit <math>M</math> besteht aus zwei Henkelkörpern <math>H_1</math> und <math>H_2</math> und einem Homöomorphismus <math>f:\partial H_1\rightarrow \partial H_2</math>, so dass <math>M</math> aus <math>H_1</math> und <math>H_2</math> durch Verkleben mittels <math>f</math> entsteht, d. h., man hat einen Homöomorphismus

<math>M\cong (H_1\cup H_2)/{\sim}</math>

für die durch

<math>x\sim y\Longleftrightarrow y=f(x),x\in\partial H_1,y\in \partial H_2</math>

gegebene Relation.

Das Geschlecht der Flächen <math>\partial H_1\cong \partial H_2</math> heißt das Geschlecht der Heegaard-Zerlegung. Die in <math>M</math> eingebettete Fläche <math>\partial H_1=\partial H_2\subset M</math> heißt Heegaard-Fläche der Heegaard-Zerlegung.

Das Heegaard-Geschlecht <math>g(M)</math> ist das Minimum des Geschlechts über alle Heegaard-Zerlegungen von <math>M</math>. Die Heegaard-Euler-Charakteristik <math>\chi_-^h(M)</math> ist das Negative des Maximums der Euler-Charakteristik über alle Heegaard-Flächen, also <math>\chi_-^h(M)=2g(M)-2</math>.

Der Heegaard-Gradient von <math>M</math> ist das Infimum <math>\inf\tfrac{\chi_-^h(M_i)}{d_i}</math> über alle endlichen Überlagerungen von <math>M</math>, wobei <math>d_i</math> den Grad der Überlagerung <math>M_i\to M</math> bezeichnet.

Existenz

Aus der Morse-Theorie folgt, dass jede geschlossene orientierbare 3-Mannigfaltigkeit eine Heegaard-Zerlegung besitzt. Alternativ ergibt sich die Existenz von Heegaard-Zerlegungen auch aus der Triangulierbarkeit von 3-Mannigfaltigkeiten, man kann die Umgebung des 1-Skeletts einer Triangulierung als Henkelkörper wählen, sein Komplement ist dann als Umgebung des 1-Skeletts der dualen Triangulierung ebenfalls ein Henkelkörper.

Beispiele

• Standard-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre: Seien <math>H_1,H_2</math> Henkelkörper vom Geschlecht <math>0</math> (d. h. Vollkugeln) und <math>f=id:S^2\rightarrow S^2</math>, dann ist <math>(H_1\cup H_2)/{\sim}\cong S^3</math>.
• Seien <math>H_1,H_2</math> Henkelkörper vom Geschlecht <math>1</math> (d. h. Volltori) und <math>f=id:T^2\rightarrow T^2</math>, dann ist <math>(H_1\cup H_2)/{\sim}\cong S^2\times S^1</math>.
• Geschlecht-1-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre: Seien <math>H_1,H_2</math> Henkelkörper vom Geschlecht <math>1</math> und <math>f:T^2\rightarrow T^2</math> bilde die Longitude auf den Meridian und den Meridian auf die Longitude ab, dann ist <math>(H_1\cup H_2)/{\sim}\cong S^3</math>.
• Standard-Heegaard-Zerlegung der Linsenräume: Seien <math>H_1,H_2</math> Henkelkörper vom Geschlecht <math>1</math> und <math>f:T^2\rightarrow T^2</math> sei durch eine beliebige Matrix <math>A\in SL(2,\Z)</math> gegeben, dann ist <math>(H_1\cup H_2)/{\sim}\cong L(p,q)</math> ein Linsenraum.
• Heegaard-Zerlegung von Flächenbündeln: Jedes Flächenbündel mit einer Faser vom Geschlecht <math>g</math> hat eine Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht <math>2g+1</math>. Insbesondere ist der Heegaard-Gradient eines Flächenbündels <math>0</math>. Weil nach dem Satz von Agol jede 3-Mannigfaltigkeit von einem Flächenbündel endlich überlagert wird, ist damit der Heegaard-Gradient stets trivial.

Stabilisierungen, Reduzibilität, Irreduzibilität

Aus einer Heegaard-Zerlegung einer Mannigfaltigkeit kann man durch Stabilisierung (Ankleben zusätzlicher Henkel, für die jeweils Longituden auf Meridiane und Meridiane auf Longituden abgebildet werden) weitere Heegard-Zerlegungen derselben 3-Mannigfaltigkeit mit Heegaard-Flächen höheren Geschlechts erhalten. Diese durch Stabilisierung erhaltenen Heegaard-Zerlegungen sind reduzibel, d. h., es gibt in der Heegaard-Fläche eine geschlossene Kurve, die in beiden Henkelkörpern (aber nicht in der Heegaard-Fläche) eine Kreisscheibe berandet. Eine Heegaard-Zerlegung heißt irreduzibel, wenn es keine solche Kurve gibt. Das Lemma von Haken besagt, dass Heegaard-Zerlegungen einer reduziblen 3-Mannigfaltigkeit immer reduzibel sind.

Eine Heegaard-Zerlegung heißt schwach reduzibel, wenn es in der Heegaard-Fläche zwei disjunkte (nicht null-homotope) geschlossene Kurven gibt, die Kreisscheiben in unterschiedlichen Henkelkörpern der Heegaard-Zerlegung beranden. Andernfalls heißt die Heegaard-Zerlegung stark irreduzibel. Casson und Gordon bewiesen 1987, dass alle irreduziblen Heegaard-Zerlegungen stark irreduzibel sind.

Mannigfaltigkeiten mit Rand

Für eine 3-Mannigfaltigkeit mit Rand <math>M</math> definiert man Heegaard-Zerlegungen analog als Zerlegungen <math>M=H_1\cup H_2</math> in zwei Kompressionskörper mit <math>\partial_+H_1\cup\partial_+H_2</math>.

Eine verallgemeinerte Heegaard-Zerlegung von <math>M</math> ist eine Zerlegung in (nicht notwendig zusammenhängende) Kompressionskörper <math>V_i, W_i, i=1,\dots,n</math> und Flächen <math>H_i, i=1,\dots, n</math> mit <math>\partial_+ V_i = \partial_+ W_i = H_i</math> und <math>\partial_- W_i = \partial_- V_{i+1}</math>. Die Vereinigung der Kompressionskörper muss ganz <math>M</math> sein und ihre inneren Kerne sollen disjunkt sein.

Literatur

• Saveliev, Nikolai: Lectures on the topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson invariant. Second revised edition. de Gruyter Textbook. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2012. ISBN 978-3-11-025035-0

Weblinks

• Jesse Johnson: Notes on Heegaard splittings

Einzelnachweise

<references />