Linsenraum

Linsenräume sind geometrische Gebilde, die in der Mathematik vor allem in der 3-dimensionalen Topologie vorkommen. Sie sind die einfachste Klasse 3-dimensionaler geschlossener Mannigfaltigkeiten. Erstmals beschrieb sie 1908 Heinrich Tietze.<ref>Jean Dieudonné: A history of algebraic and differential topology, 1900–1960 (= Modern Birkhäuser Classics). Nachdruck der 1989 Auflage. Birkhäuser, Boston 2009, ISBN 978-0-8176-4906-7, S. 42, doi:10.1007/978-0-8176-4907-4. </ref><ref>H. Tietze: Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten. In: Monatshefte für Mathematik und Physik. Band 19, Nr. 1, Dezember 1908, ISSN 0026-9255, S. 1–118, doi:10.1007/BF01736688. </ref> Mit den von Tietze eingeführten Linsenräumen gelang es James Waddell Alexander 1919, eine Vermutung von Henri Poincaré zu widerlegen, da sie Beispiele für nicht-homöomorphe Räume mit gleicher Fundamentalgruppe liefern. Weiterhin waren Linsenräume die ersten Beispiele homotopieäquivalenter, aber nicht homöomorpher Mannigfaltigkeiten: Kurt Reidemeister entwickelte 1935 die später nach ihm benannte Reidemeister-Torsion, um den Homöomorphietyp von Linsenräumen zu unterscheiden.<ref>Kurt Reidemeister: Homotopieringe und Linsenräume. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11: 102–109 (1935)</ref>

Definition

Seien <math>m, l_j</math> für <math>j = 1, \ldots, d</math> natürliche Zahlen, so dass <math>ggT(l_j,m) = 1</math> für alle <math>j</math>. Der Linsenraum <math>L(m;l_1,\ldots,l_d)</math> ist definiert als der Bahnenraum der durch die Formel

<math>\Z/m\Z\times S^{2d-1}\to S^{2d-1}</math>

<math>(k,(z_1,\ldots,z_d)) \mapsto (z_1 \cdot e^{2\pi i kl_1/m}, \ldots ,z_d \cdot e^{2\pi i kl_d/m})</math>

gegebenen freien Wirkung der zyklischen Gruppe <math>\Z/m\Z</math> auf der Einheitssphäre <math>S^{2d-1} \subset \Complex^d</math>.

Invarianten

Die Fundamentalgruppe des Linsenraums <math>L(m;l_1,\ldots,l_d)</math> ist <math>\Z/m\Z</math> unabhängig von <math>l_1,\ldots,l_d</math>.

Die Homologiegruppen berechnen sich wie folgt:

<math>H_0 (L) = \Z, H_{2d-1} (L) = \Z, H_{2i-1} (L) = \Z/m\Z</math> für <math>1 \leq i \leq d-1</math>, <math>H_i (L) = 0</math> für alle anderen <math>i</math>.

Klassifikation

Weil die Fundamentalgruppe des Linsenraums <math>\Z/m\Z</math> ist, können zwei Linsenräume nur dann homotopieäquivalent sein, wenn die Zahl <math>m</math> übereinstimmt.

Die Linsenräume <math>L(m;l_1,\ldots,l_d)</math> und <math>L(m;l_1^\prime,\ldots,l_d^\prime)</math> sind

• homotopieäquivalent genau dann, wenn
  <math>l_1\ldots l_d \equiv \pm n^dl_1^\prime\ldots l_d^\prime \pmod{m}</math>
  für ein <math>n \in \mathbb{N}</math>.<ref>P. Olum: Mappings of manifolds and the notion of degree. In: Ann. of Math., (2) 58, 1953, S. 458–480. </ref>
• homöomorph genau dann, wenn es eine Permutation <math>\sigma</math> und ein <math>n \in \mathbb{N}</math> gibt, so dass
  <math>l_j \equiv \pm nl_{\sigma(j)} \pmod{m}</math> für <math>j=1,\ldots,d</math>.<ref>E. J. Brody: The topological classification of the lens spaces. In: Ann. of Math., (2) 71, 1960, S. 163–184. </ref><ref>John Milnor: Whitehead torsion. In: Bull. Amer. Math. Soc., 72, 1966, S. 358–426. maths.ed.ac.uk (Memento vom 29. Mai 2016 im Internet Archive; PDF)</ref>

3-dimensionale Linsenräume

3-dimensionale Linsenräume sind die einzigen 3-Mannigfaltigkeiten, die eine Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht <math>1</math> besitzen.

Sie sind sphärische 3-Mannigfaltigkeiten: ihre universelle Überlagerung ist die 3-Sphäre. Insbesondere tragen sie eine Riemannsche Metrik konstanter positiver Schnittkrümmung.

Literatur

• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12226-X
• Nikolai Saveliev: Lectures on the topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson invariant. Second revised edition. de Gruyter Textbook. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2012, ISBN 978-3-11-025035-0
• Claude Weber: Lens spaces among 3-manifolds and quotient surface singularities, RACSAM 112, 2018, S. 893–914.

Weblinks

• Lens Spaces (Manifold Atlas)
• Lens Spaces auf nLab (englisch)

Einzelnachweise

<references />