Initial-σ-Algebra

Eine Initial-σ-Algebra ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er dient dazu, σ-Algebren auf Räumen zu definieren, die bisher keine Struktur hatten, und hat als Spezialfälle die Produkt-σ-Algebra und die Spur-σ-Algebra. Er ist mit der Initialtopologie eng verknüpft. Das Gegenstück zur Initial-σ-Algebra bildet die Final-σ-Algebra. Sie ist das größte Mengensystem, so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist. Die Initial-σ-Algebra wird auch die (von den Funktionen <math> f_i </math>) erzeugte σ-Algebra genannt. Diese Benennung ist aber nicht eindeutig, da σ-Algebren auch von Mengensystemen erzeugt werden können.

Definition

Gegeben seien Abbildungen <math> f_i\colon \Omega \to \Omega_i</math> und eine Familie von Messräumen <math> (\Omega_i,\mathcal{A}_i)</math> für eine nichtleere Indexmenge <math> I </math>. Dann heißt die σ-Algebra

<math> \mathcal{I}(f_i, \, i \in I):= \sigma \left( \bigcup_{i \in I} f_i^{-1}(\mathcal{A}_i)\right) </math>

auf <math> \Omega </math> die Initial-σ-Algebra der Abbildungen <math> (f_i)_{i \in I} </math> oder die von den Abbildungen <math> (f_i)_{i \in I} </math> erzeugte σ-Algebra, wobei <math> \sigma(\cdot) </math> den σ-Operator darstellt.

Eigenschaften

• Die Initial-σ-Algebra ist per Definition die bezüglich mengentheoretischer Inklusion kleinste σ-Algebra auf <math> \Omega </math>, bezüglich derer alle Funktionen <math> (f_i)_{i \in I} </math> messbar sind.
• Sind <math> \mathcal{E}_i </math> Erzeuger von <math> \mathcal{A}_i </math>, so ist <math> \bigcup_{i \in I} f_i^{-1}(\mathcal{E}_i) </math> ein Erzeuger von <math> \mathcal{I}(f_i, \, i \in I) </math>.

Beispiele

• Für eine einzelne Abbildung <math>f \colon \Omega \to \Omega'</math> in einen Messraum <math>(\Omega', \mathcal{A}')</math> ist bereits <math>f^{-1}(\mathcal{A}')</math> eine σ-Algebra, es gilt also <math>\mathcal{I}(f) = f^{-1}(\mathcal{A}')</math>. Ist beispielsweise <math>f</math> eine konstante Funktion, so ist <math>\mathcal{I}(f)</math> die triviale σ-Algebra <math>\{\emptyset, \Omega\}</math>. Für die Indikatorfunktion <math>\chi_A</math> einer Teilmenge <math>A \subset \Omega</math> gilt <math>\mathcal{I}(\chi_A) = \{\emptyset, A, A^{\mathsf c}, \Omega\}</math>.
• Ist <math> X \subset Y </math> und <math> (Y, \mathcal{A}) </math> ein Messraum sowie <math> i\colon X \to Y , \, i(x)=x</math> die natürliche Einbettung, so ist die Initial-σ-Algebra genau die Spur-σ-Algebra: <math> \mathcal{I}(i)=\mathcal{A}|_X </math>.
• Sei <math>\textstyle \Omega=\prod_{i \in I}\Omega_i </math> das kartesische Produkt von Mengen <math> \Omega_i </math> für eine nichtleere Indexmenge <math> I </math> und seien <math> (\Omega_i, \mathcal{A}_i) </math> Messräume. Wählt man als Abbildungen <math> \pi_i\colon \Omega \to \Omega_i, \, \pi_i(\omega)=\omega_i </math> die Projektionen auf die <math>i</math>-te Komponente, so ist die Initial-σ-Algebra der Projektionen genau die Produkt-σ-Algebra der <math> \mathcal{A}_i </math>:

<math> \mathcal{I}(\pi_i, \, i \in I)=\bigotimes_{i \in I} \mathcal{A}_i </math>.

Verwendung

Initial-σ-Algebren finden zum Beispiel Verwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig genau dann, wenn ihre Initial-σ-Algebren unabhängige Mengensysteme sind.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.