Produkt-σ-Algebra

Eine Produkt-σ-Algebra, auch Kolmogorowsche σ-Algebra<ref>Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 39, doi:10.1007/978-3-642-21026-6. </ref> genannt, ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Produkt-σ-Algebren erlauben die Definition von Produktmaßen, die den intuitiven Volumenbegriff auf höherdimensionale Räume verallgemeinern.

Definition

Gegeben sei eine Grundmenge, die das kartesische Produkt <math>\textstyle \Omega=\prod_{i \in I}\Omega_i </math> für eine nichtleere Indexmenge <math> I </math> sei. Jede der Mengen <math> \Omega_i </math> sei zudem mit einer σ-Algebra <math> \mathcal{A}_i </math> versehen. Die Produkt-σ-Algebra von <math>(\mathcal{A}_i)_{i\in I}</math> (oder auch Kolmogorowsche σ-Algebra) ist dann definiert als

<math>\bigotimes_{i \in I} \mathcal{A}_i:=\sigma\left(\{\pi_i^{-1}(A_i)\, | \,i \in I, \, A_i \in \mathcal{A}_i \}\right)</math>,

wobei <math>\textstyle\pi_i\colon \Omega \rightarrow \Omega_i</math> die Projektion auf die <math>i</math>-te Komponente bezeichnet. Das Paar

<math>\biggl(\prod_{i\in I}\Omega_i,\bigotimes_{i\in I}\mathcal{A}_i\biggr)</math>

bildet einen Messraum, der auch als messbares Produkt der Familie <math>((\Omega_i,\mathcal{A}_i))_{i\in I}</math> bezeichnet wird.

Erläuterungen

Man nennt

<math>\pi_i^*(\mathcal{A}_i):=\{\pi_i^{-1}(A_i)\, | A_i \in \mathcal{A}_i \}=\left\{\left(\prod\limits_{j\in I\setminus \{i\}} \Omega_j\right) \times A_i\, | A_i \in \mathcal{A}_i \right\}</math>

auch Pullback-σ-Algebra.

Notationskonventionen

Ist <math>I=\{1,2\}</math>, so schreibt man häufig auch <math>\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2</math> statt <math>\textstyle\bigotimes_{i=1}^2\mathcal{A}_i</math>.

Ist <math>\mathcal{A}_i=\mathcal{A}</math> für alle <math>i \in I</math>, so verwendet man teilweise auch die Notation <math>\mathcal{A}^{\otimes I}</math> für die entsprechende Produkt-σ-Algebra.

In der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Produkt-σ-Algebra <math>\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2</math> von einigen Autoren mit <math>\mathcal{A}_1 \times \mathcal{A}_2</math> bezeichnet.<ref>Patrick Billingsley: Probability and Measure. 3. Auflage. Wiley, New York 1995, ISBN 0-471-00710-2, S. 231. </ref><ref>Galen R. Shorack: Probability for Statisticians (= Springer Texts in Statistics). 2. Auflage. Springer, Cham 2017, ISBN 978-3-319-52206-7, S. 25, doi:10.1007/978-3-319-52207-4. </ref><ref>P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Produktmaß. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 310. </ref>

Alternative Definitionen

Mittels messbarer Funktionen

Die Produkt-σ-Algebra lässt sich auch als die kleinste σ-Algebra definieren, bezüglich derer die Projektionen auf die einzelnen Komponenten messbar sind. Da Messbarkeit nur auf einem Erzeuger <math>\mathcal{E}_i</math> der σ-Algebren <math>\mathcal{A}_i</math> überprüft werden muss, ergibt sich damit

<math>\bigotimes_{i \in I} \mathcal{A}_i = \sigma\biggl(\bigcup_{i \in I}\pi_i^{-1}(\mathcal{A}_i)\biggr) = \sigma\biggl(\bigcup_{i\in I}\pi_i^{-1}(\mathcal{E}_i)\biggr)</math>.

Damit ist die Produkt-σ-Algebra der <math> \mathcal{A}_i </math> die Initial-σ-Algebra <math> \mathcal{I} </math> der <math> \pi_i </math>:

<math> \mathcal{I}(\pi_i, \, i \in I)=\bigotimes_{i \in I} \mathcal{A}_i </math>.

Als Produkt von Familien

Fasst man zwei σ-Algebren <math> \mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 </math> als Mengenalgebren auf und bildet das Produkt dieser Algebren <math> \mathcal{C}:= \mathcal{A}_1 \boxtimes \mathcal{A}_2 </math>, so ist <math> \mathcal{C} </math> wieder eine Algebra und ein Erzeuger der Produkt-σ-Algebra:

<math>\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2=\sigma (\mathcal{A}_1 \boxtimes \mathcal{A}_2) </math>.

Man beachte, dass das Produkt zweier σ-Algebren <math>\mathcal{A}_1</math> und <math>\mathcal{A}_2</math> im Allgemeinen keine σ-Algebra ist. Jedoch ist <math>\mathcal{A}_1 \times \mathcal{A}_2</math> ein Halbring und insbesondere <math>\cap</math>-stabil.

Für eine abzählbare (endliche oder abzählbar unendliche) Indexmenge <math>I</math> gilt

<math>\bigotimes_{i \in I} \mathcal{A}_i = \sigma\biggl(\prod^\star_{i \in I}\mathcal{A}_i\biggr),</math>

wobei

<math>\prod^*_{i \in I}\mathcal{A}_i = \biggl\{\prod_{i\in I}A_i\mid (A_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}\mathcal{A}_i\biggr\}</math>

aus kartesischen Produkten der Familie <math>(\mathcal{A}_i)_{i\in I}</math> gebildet ist. Das gewöhnliche kartesische Produkt <math>\textstyle \prod_{i\in I}\mathcal{A}_i</math> der Mengensysteme enthält als Elemente Mengenfamilien <math>(A_i)_{i\in I}</math> mit <math>A_i \in \mathcal{A}_i</math> für alle <math> i \in I</math>, während das Produkt <math>\textstyle \prod^*_{i \in I}\mathcal{A}_i </math> als Elemente kartesische Produkte <math>\textstyle \prod_{i\in I}A_i</math> mit <math>A_i \in \mathcal{A}_i</math> für alle <math> i \in I</math> enthält.

Zylindermengen

Alternativ kann man für beliebige Indexmengen die Produkt-σ-Algebra auch als die von den Zylindermengen erzeugte σ-Algebra definieren. Dabei sind die Zylindermengen die Urbilder der Elemente einer σ-Algebra unter der kanonischen Projektion.

Beispiele

• Seien <math>(\Omega_1,\mathcal{A}_1) = (\{K,Z\},\{\emptyset,\{K\},\{Z\},\{K,Z\}\})</math> und <math>(\Omega_2,\mathcal{A}_2) = (\{a,b\},\{\emptyset,\{a,b\}\})</math> zwei Messräume. Dann ist die dazugehörige Produkt-σ-Algebra:

<math>\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2 = \{ \emptyset, \{(K,a),(K,b)\},\{(Z,a),(Z,b)\},\{(K,b),(Z,b),(K,a),(Z,a)\} \}</math>

• Die Borelsche σ-Algebra auf <math>\R^n</math> ist gleich der Produkt-σ-Algebra auf <math>(\mathcal{B}(\R))_{i \in \{1,\dotsc,n\}}</math>, es gilt folglich:

<math>\mathcal{B}(\R^n) = \bigotimes_{i=1}^n\mathcal{B}(\R)</math>

Sie ist die kleinste σ-Algebra, die alle Mengen der Art <math> \{A_1\times A_2 \times \dots \times A_n\, | \, A_i \in \mathcal{B}(\R)\} </math> enthält.

• Warnung: Sei <math>(E_i,\tau_i)_{i\in I}</math> eine abzählbare Familie topologischer Räume, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, und <math>(E,\tau)</math> deren topologisches Produkt, dann gilt

<math>\bigotimes_{i\in I}\mathcal{B}(E_i)\subset \mathcal{B}(E).</math>

Erfüllen sie jedoch das zweite Abzählbarkeitsaxiom, dann gilt

<math>\bigotimes_{i\in I}\mathcal{B}(E_i)=\mathcal{B}(E).</math>

Anwendungen

Produkt-σ-Algebren sind die Grundlage für die Theorie der Produktmaße, die wiederum die Grundlage für den allgemeinen Satz von Fubini bilden.

Für die Stochastik sind Produkt-σ-Algebren von fundamentaler Bedeutung, um Aussagen über die Existenz von Produkt-Wahrscheinlichkeitsmaßen und Produkt-Wahrscheinlichkeitsräumen zu machen. Diese sind zum einen wichtig, um mehrstufige Zufallsexperimente zu beschreiben, und zum anderen grundlegend für die Theorie stochastischer Prozesse.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.

Einzelnachweise

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