Kofaserung

In der Mathematik sind Kofaserungen ein wichtiger Begriff der algebraischen Topologie.

Definition

Eine stetige Abbildung <math>i\colon A\to X</math> ist eine Kofaserung, wenn sie die Homotopieerweiterungseigenschaft erfüllt, d. h. wenn es zu stetigen Abbildungen

<math>f\colon X\to Y, h\colon A\times\left[0,1\right]\to Y</math>

mit

<math>f\circ i=h\circ i_0</math>

(für die durch <math>i_0(x)=(x,0)</math> definierte Inklusive <math>i_0\colon A\to A\times\left[0,1\right]</math>) immer eine stetige Abbildung

<math>\overline{h}\colon X\times\left[0,1\right]\to Y</math>

mit

<math>\overline{h}\circ (i\times id)=h</math>

und

<math>\overline{h}|_{X\times\{0\}}=f\circ\pi_X</math>

(für die natürliche Projektion <math>\pi_X:X\times\{0\}\to X</math>) gibt.

Falls <math>i\colon A\to X</math> die Inklusion eines Unterraumes <math>A\subset X</math> ist, dann ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass es eine Retraktion

<math>p\colon X\times\left[0,1\right]\to A\times\left[0,1\right]\cup X\times\left\{0\right\}</math>

gibt.

Beispiele

• Die Inklusion

<math>S^{n-1}\to D^n</math>

ist eine Kofaserung.

• Für jeden CW-Komplex <math>X</math> und alle <math>m\le n</math> ist die Inklusion

<math>X_m\to X_n</math>

des m-Skeletts in das n-Skelett eine Kofaserung. Insbesondere sind CW-Komplexe kofibrant.

Kofaser

Die Homotopie-Kofaser einer (beliebigen) stetigen Abbildung <math>f\colon A\to X</math> ist ihr Abbildungskegel <math>C_f</math>. Für jede verallgemeinerte Homologietheorie <math>H_*</math> hat man eine lange exakte Sequenz

<math>\ldots\to H_{*+1}(C_f)\to H_*(A)\to H_*(X)\to H_*(C_f)\to H_{*-1}(A)\to\ldots</math>

Falls die Abbildung <math>f</math> eine Kofaserung ist, bezeichnet man die Homotopie-Kofaser <math>C_f</math> als Kofaser.

Wenn eine Inklusion <math>f\colon A\to X</math> eine Kofaserung ist, dann ist die Kofaser <math>C_f</math> Homotopie-äquivalent zum Quotientenraum <math>X/A</math> und es gilt

<math>H_*(X,A)=H_*(C_f)=H_*(X/A)</math>.

Literatur

• Whitehead, George W.: Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. ISBN 0-387-90336-4