Projektive Basis
Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von <math>n+2</math> Punkten eines <math>n</math>-dimensionalen projektiven Raums, von denen je <math>n+1</math> projektiv unabhängig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitäten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet.
Definition[Bearbeiten]
Ein <math>(n+1)</math>-Tupel <math>( P_0, \ldots P_n )</math> von Punkten eines projektiven Raums <math>P(V)</math> über einem <math>K</math>-Vektorraum <math>V</math> heißt projektiv unabhängig, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:
- Es gibt linear unabhängige Vektoren <math>v_0, \ldots, v_n \in V</math> mit <math>P_i = K \, v_i</math> für <math>i = 0, \ldots ,n</math>.
- Jedes <math>(n+1)</math>-Tupel <math>(v_0, \ldots, v_n)</math> von Vektoren aus <math>V</math> mit <math>P_i = K \, v_i</math> für <math>i = 0, \ldots ,n</math> ist linear unabhängig.
- Für die Dimension des Verbindungsraums der Punkte gilt <math>\dim(P_0 \vee P_1 \vee \ldots \vee P_n) = n</math>.
Ein <math>(n+2)</math>-Tupel <math>( P_0, \ldots P_{n+1} )</math> von Punkten eines projektiven Raums heißt projektive Basis des Raums, wenn je <math>n+1</math> Punkte projektiv unabhängig sind. Es gilt dann <math>\dim P(V) = n</math>.<ref name="fischer142">Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 142.</ref>
Spezialfälle[Bearbeiten]
- <math>n=1</math>: drei Punkte auf einer projektiven Geraden bilden genau dann eine projektive Basis, wenn sie paarweise verschieden sind.
- <math>n=2</math>: vier Punkte auf einer projektiven Ebene bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine drei davon auf einer Geraden liegen. Die vier Punkte bestimmen also ein vollständiges Viereck.
- <math>n=3</math>: fünf Punkte in einem dreidimensionalen projektiven Raum bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine vier davon in einer Ebene liegen.
Projektive Standardbasis[Bearbeiten]
Die projektive Standardbasis <math>(E_0, \ldots, E_{n+1} )</math> im projektiven Standardraum <math>KP^n</math> besteht aus den von den Standard-Basisvektoren <math>e_0, \ldots,e_n</math> des Koordinatenraums <math>K^{n+1}</math> erzeugten Punkten
- <math>E_i=K \, e_i, ~ i=0, \ldots , n</math>,
zusammen mit dem Einheitspunkt
- <math>E_{n+1}=K \, \left( e_0 + \ldots + e_n\right)</math>.<ref name="fischer143">Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 143.</ref>
In homogenen Koordinaten ergeben sich beispielsweise folgende projektiven Standardbasen:
- In der projektiven Gerade <math>KP^1</math> über einem Körper <math>K</math> bilden die <math>3</math> Punkte <math>\left[1:0\right], \left[0:1\right]</math> und <math>\left[1:1\right]</math> die projektive Standardbasis.
- In der projektiven Ebene <math>KP^2</math> über einem Körper <math>K</math> bilden die <math>4</math> Punkte <math>\left[1:0:0\right], \left[0:1:0\right],\left[0:0:1\right]</math> und <math>\left[1:1:1\right]</math> die projektive Standardbasis.
- <math>\ldots</math>
- Im <math>n</math>-dimensionalen projektiven Raum <math>KP^n</math> über einem Körper <math>K</math> bilden die <math>n+2</math> Punkte <math>\left[1:0:\ldots:0\right], \left[0:1:\ldots:0\right],\ldots,\left[0:0:\ldots:1\right]</math> und <math>\left[1:1:\ldots:1\right]</math> die projektive Standardbasis.
Verwendung[Bearbeiten]
Ist <math>(P_0, \ldots, P_{n+1})</math> eine beliebige projektive Basis eines projektiven Raums <math>P(V)</math>, dann gibt es eine Basis <math>(v_0, \ldots , v_n)</math> von <math>V</math>, sodass
- <math>P_0=K \, v_0, \ldots , P_n=K \, v_n ~\text{und}~ P_{n+1}=K \, \left( v_0 + \ldots + v_n\right)</math>
gilt.<ref name="fischer143" /> Sind nun <math>P(V)</math> und <math>P(W)</math> zwei projektive Räume gleicher Dimension mit projektiven Basen <math>(P_0, \ldots, P_{n+1})</math> und <math>(Q_0, \ldots, Q_{n+1})</math>, dann gibt es genau eine projektive Abbildung <math>f\colon P(V) \to P(W)</math>, sodass
- <math>f(P_i) = Q_i</math>
für <math>i=0, \ldots , n+1</math> gilt.<ref name="fischer143" /> Demnach ist eine projektive Abbildung zwischen projektiven Räumen gleicher Dimension durch Angabe der Bilder der projektiven Basispunkte eindeutig charakterisiert. Solche Abbildungen lassen sich daher durch Matrizen der Größe <math>(n+1) \times (n+1)</math> beschreiben. Weiter lassen sich in einem projektiven Raum <math>P(V)</math> mit der projektiven Basis <math>(P_0, \ldots, P_{n+1})</math> mit Hilfe der projektiven Abbildung
- <math>KP^n \to P(V), E_i \mapsto P_i ~\text{für}~i=0, \ldots, n+1</math>
homogene projektive Koordinaten definieren.<ref name="fischer144">Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 144.</ref>
Literatur[Bearbeiten]
- Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-96417-5, S. 142.
Einzelnachweise[Bearbeiten]
<references />