Radiant (Einheit)

Physikalische Einheit
Einheitenname	Radiant
Einheitenzeichen	<math>\mathrm{rad}</math>
Physikalische Größe	Ebener Winkel
Formelzeichen	<math>\alpha, \beta, \gamma ...</math>
Dimension	<math>\mathsf{\frac{L}{L} = 1}</math>
System	Internationales Einheitensystem
In SI-Einheiten	<math>\mathrm{1 \, rad = 1 \, \frac{1 \; m}{1 \; m} = 1}</math>
Benannt nach	, „Strahl“
Siehe auch: Winkelmaße

Datei:Circle radians.gif

Der Winkel, der auf dem Kreisumfang die Länge des Radius markiert, beträgt 1 rad, der Vollwinkel also <math>2\pi</math> rad.

Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist ein Winkelmaß, bei dem der Winkel durch die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis angegeben wird. Wegen der Betrachtung des Kreisbogens zur Kennzeichnung des Winkels wird die Angabe „im Bogenmaß“ auch Bogenwinkel genannt.

Statt der Definition als Bogenlänge im Einheitskreis findet man auch die Definition als Verhältnis von Kreisbogen und Radius.<ref name="SI-Brosch" details="Kap. 2.3.4, Fußnote b zu Tabelle 4." /> Beide Definitionen sind äquivalent, weil die Bogenlänge eines gegebenen Winkels proportional zum Radius ist. Der Vollkreis (360°) hat die Bogenlänge <math>U = 2</math><math>\pi</math><math>r</math>, also beträgt der Vollwinkel <math>2 \pi</math> rad.

In vielen Berechnungen der Physik und der Mathematik ist das Bogenmaß das zweckmäßigste Winkelmaß.

Umrechnung zwischen Radiant und Grad

Häufig benötigte Werte:

Grad	Radiant
<math>180^\circ</math>	<math>\pi \approx 3{,}1416</math>
<math>90^\circ</math>	<math>\frac12 \pi \approx 1{,}5708</math>
<math>45^\circ</math>	<math>\frac{1}{4} \pi \approx 0{,}7854</math>
<math>57^\circ\, 17'\, 45</math>	<math>\approx 1</math>
<math>57{,}295\,779\,51^\circ</math>
<math>1^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{180} \approx 17{,}453\,\text{mrad}</math>
<math>3{,}44'</math>	<math>1\,\text{mrad} = 0{,}001</math>
<math>1</math>	<math>4{,}85\,\mu \text{rad}</math>

Der Vollwinkel hat <math>2\pi</math> Radiant oder 360 Grad, daher gilt <math> 2\pi\,\mathrm{rad} = 360^\circ </math>. Hieraus erhält man durch einfache Division die Faktoren für die Umrechnung von Radiant in Grad bzw. von Grad in Radiant als

<math>

1\,\mathrm{rad} = \frac {360^\circ} {2 \pi} = \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57{,}2958^\circ </math>

bzw.

<math>

1^\circ = \frac{2\pi}{360}\,\mathrm{rad} = \frac{\pi}{180}\,\mathrm{rad} \approx 0{,}017\,453\,\mathrm{rad} </math>

Beispiele:

• <math>\frac{3}{2}\pi\,\mathrm{rad} = \frac{3}{2}\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 270^\circ</math>
• <math>45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180}\, \mathrm{rad} = \frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}</math>

Verwendung als Maßeinheit

Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist Radiant der besondere Name für die kohärente, abgeleitete SI-Einheit m/m. Wie jede andere SI-Einheit kann sie mit Präfixen kombiniert werden, beispielsweise mrad für Milliradiant oder μrad für Mikroradiant.

Bei der Schaffung des SI im Jahr 1960 war zunächst offen gelassen worden, ob Radiant und Steradiant abgeleitete Einheiten oder Basiseinheiten sein sollten; für beide wurde die Klasse der „ergänzenden Einheiten“ geschaffen.<ref name="CGPM-11-12" /> 1980 empfahl das Internationale Komitee für Maß und Gewicht (CIPM), Radiant und Steradiant als abgeleitete Einheiten zu interpretieren. Dem folgte 1995 die 20. Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) und beschloss die Aufhebung der Klasse der „ergänzenden Einheiten“.<ref name="CGPM-20-8" />

Nach heutiger SI-Sprachregelung gehören der ebene Winkel und Raumwinkel „aus historischen Gründen und per Konvention“ zu den „Größen mit der Einheit 1“ (dimensionslose Größen)<ref name="SI-Brosch" details="Kap. 2.3.3." /> und „werden […] wie abgeleitete Größen behandelt“.<ref name="SI-Brosch" details="Kap. 2.3.3." /> Radiant wird auch als Hilfsmaßeinheit bezeichnet.

Die Darstellung rad = m/m gilt als „in sich nicht schlüssig und kann irreführend sein, da der Winkel nicht dieselbe Art von Größe ist wie andere Längenverhältnisse.“<ref name="SI-Brosch" details="Kap. 2.3.4, Fußnote b zu Tabelle 4." /> Aus diesem Grund wird das Einheitensymbol rad in Physik und Technik grundsätzlich geschrieben. Beispielsweise schreibt man die Einheit der Winkelgeschwindigkeit fast immer als rad·s⁻¹ und nicht als s⁻¹ (und keinesfalls als Hz).

In der Mathematik hingegen wird das Einheitensymbol „rad“ meist weggelassen. Aus dem Fehlen des Zeichens „°“ kann geschlossen werden, dass es sich um eine Angabe in Bogenmaß handelt. Bei mathematischen Zusammenhängen wie etwa <math display="inline">\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots</math> wird <math>x</math> als Zahl behandelt.

Handhabung in der EDV

Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise in Grad oder in Radiant, manchmal zusätzlich auch in Gon, wo der Vollwinkel 400 gon umfasst. Die Modi zur Berechnung heißen auf den meisten Taschenrechnern „DEG“ (von für Grad) für das Gradmaß, „RAD“ für das Bogenmaß und „GRD“, „GRA“ oder „GRAD“ für das Gon-Winkelmaß, und sind manchmal über eine Kombitaste „DRG“ (von den Anfangsbuchstaben der Einheiten) zyklisch umschaltbar.

Winkelfunktionen in mathematischen Bibliotheken für Programmiersprachen und in Programmen zur Tabellenkalkulation verwenden in der Regel das Bogenmaß, Gradangaben müssen daher meist umgerechnet werden.

Weblinks

Commons: Radiant – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

<references> <ref name="CGPM-11-12"> Resolution 12 of the 11th CGPM. Système International d'Unités. Bureau International des Poids et Mesures, 1960, abgerufen am 18. Mai 2026 ().  doi:10.59161/CGPM1960RES12E (engl.), doi:10.59161/CGPM1960RES12F (frz.) </ref> <ref name="CGPM-20-8"> Resolution 8 of the 20th CGPM. Elimination of the class of supplementary units in the SI. Bureau International des Poids et Mesures, 1995, abgerufen am 12. April 2021 ().  doi:10.59161/CGPM1995RES8E (engl.), doi:10.59161/CGPM1995RES8F (frz.) </ref> <ref name="SI-Brosch"> Das Internationale Einheitensystem (SI). Deutsche Übersetzung der SI-Broschüre des BIPM, 9. Auflage, Update 2024. In: PTB-Mitteilungen. Band 135, Nr. 2, Mai 2025 (ptb.de [PDF; 974 kB]).  doi:10.7795/310.20250299. Originalausgabe 2019/2025 (französisch, englisch): doi:10.59161/AUEZ1291 </ref> </references> Vorlage:Navigationsleiste SI-Einheiten