Spektrum (Topologie)

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie werden Spektren zur Definition verallgemeinerter Homologietheorien benutzt.

Definition

Ein Spektrum ist eine Folge punktierter Räume <math>E_n</math> mit punktierten stetigen Abbildungen

<math>\sigma_n\colon SE_n\to E_{n+1}</math>.

Hierbei bezeichnet <math>SE_n</math> die reduzierte Einhängung von <math>E_n</math>.

Weil die reduzierte Einhängung linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraums ist, entspricht <math>\sigma_n</math> einer bis auf Homotopie eindeutigen stetigen Abbildung <math>E_n\to\Omega E_{n+1}</math>. Ein Spektrum ist ein <math>\Omega</math>-Spektrum, wenn die Abbildungen <math>E_n\to\Omega E_{n+1}</math> Homöomorphismen sind.

Man findet in der Literatur auch andere Definitionen. Zum Beispiel werden die oben definierten Spektren als Präspektrum und die <math>\Omega</math>-Spektren dann als Spektrum bezeichnet. Mit diesen Bezeichnungen kann man jedem Präspektrum <math>E_n</math> durch <math>\operatorname{colim}_{k\to\infty}\Omega^kE_{n+k}</math> ein Spektrum zuordnen, seine Spektrifizierung.

Ein Morphismus zwischen Spektren <math>(E_n,\sigma_n)</math> und <math>(E_n^\prime,\sigma_n^\prime)</math> ist eine Familie stetiger Abbildungen <math>f_n\colon E_n\to E_n^\prime</math> mit <math>f_{n+1}\circ\sigma_n=\sigma_n^\prime\circ Sf_n</math> für alle <math>n</math>.

Beispiele

• Einhängungsspektren: Für einen topologischen Raum <math>X</math> bildet <math>E_n:=S^nX</math> mit den kanonischen Homöomorphismen <math>\sigma_n\colon SE_n\to E_{n+1}</math> ein Spektrum. Es wird als Einhängungsspektrum <math>\Sigma^\infty X</math> des Raumes <math>X</math> bezeichnet. Allgemeiner werden Spektren der Form <math>\Sigma^k\Sigma^\infty X</math> mit <math>k\in\Z</math> als Einhängungsspektren bezeichnet, wobei für ein Spektrum <math>E=(E_n,\sigma_n)</math> mit <math>\Sigma^kE</math> das Spektrum <math>(E_{n+k},\sigma_{n+k})</math> gemeint ist.
• Sphärenspektrum: Das Einhängungsspektrum der <math>0</math>-dimensionalen Sphäre heißt Sphärenspektrum und wird mit <math>\mathbf{S}</math> bezeichnet. In diesem Fall ist also <math>E_n=S^n</math> und <math>\sigma_n\colon SS^n\to S^{n+1}</math> der kanonische Homöomorphismus.
• Eilenberg-MacLane-Spektrum: Für eine abelsche Gruppe <math>G</math> bilden die Eilenberg-MacLane-Räume ein Spektrum mit <math>E_n=K(G,n)</math> und <math>\sigma_n\colon SK(G,n)\to K(G,n+1)</math> der durch den Satz von Whitehead gegebenen Homotopieäquivalenz. Dieses Spektrum wird auch mit <math>HG</math> bezeichnet.
• Thom-Spektrum: Die Thom-Räume <math>Th(\tau_n)</math> der universellen Vektorbündel <math>\tau_n\to BO(n)</math> über den Graßmann-Mannigfaltigkeiten <math>BO(n)</math> bilden ein Spektrum <math>MO(n)</math>. Die Strukturabbildung ist in diesem Fall die von der klassifizierenden Abbildung <math>BO(n)\to BO(n+1)</math> des Vektorbündels <math>(\tau_n\oplus\underline{\R})\to BO(n)</math> induzierte Abbildung <math>\sigma_n:SMO(n)=STh(\tau_n)=Th(\tau_n\oplus\underline{\R})\to Th(\tau_{n+1})=MO(n+1).</math>
• Topologisches K-Theorie-Spektrum: Dieses Spektrum ist definiert durch <math>E_{2n}=U, E_{2n+1}=\Z\times BU</math> für alle <math>n\in \N</math>, wobei <math>U</math> die aufsteigende Vereinigung der unitären Gruppen und <math>BU</math> ihr klassifizierender Raum ist.
• <math>\Omega</math>-Spektren: Sei <math>X</math> ein unendlicher Schleifenraum, dann definiert <math>E_n=\Omega^{-n}X</math> ein <math>\Omega</math>-Spektrum.
• Algebraisches K-Theorie-Spektrum: Für einen kommutativen Ring <math>R</math> mit Eins ist <math>X= BGL^+(R)</math>, die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum von <math>GL(R)</math>, ein unendlicher Schleifenraum und definiert deshalb ein <math>\Omega</math>-Spektrum.

Homotopiegruppen von Spektren

Die k-te Homotopiegruppe eines Spektrums ist definiert durch

<math>\pi_k(E):=\operatorname{colim}_{n\to\infty}\pi_{n+k}E_n</math>.

Die Homotopiegruppen eines Einhängungsspektrums <math>E_n=S^nX</math> werden als stabile Homotopiegruppen von <math>X</math> bezeichnet:

<math>\pi_k^s(X):=\pi_k(\Sigma^\infty X)</math>.

Für <math>\Omega</math>-Spektren gilt bereits <math>\pi_k(E)=\pi_k(E_0)</math>.

Beispiele

• Die stabilen Homotopiegruppen der Sphären sind die Homotopiegruppen des Sphärenspektrums <math>\mathbf{S}</math>.
• Die algebraische K-Theorie <math>K_i(R)</math> eines kommutativen Ringes <math>R</math> mit Eins erhält man für <math>i\ge1</math> per Definition als Homotopiegruppen des algebraischen K-Theorie-Spektrums.
• Die Kobordismusgruppe unorientierter <math>n</math>-Mannigfaltigkeiten ist isomorph zur <math>n</math>-ten Homotopiegruppe des Thom-Spektrums.

Äquivalenzen

Für Morphismen von Spektren gilt das folgende Analogon zum Satz von Whitehead:

Ein Morphismus von Spektren induziert genau dann einen Isomorphismus aller Homotopiegruppen, wenn der induzierte Morphismus in der Homotopie-Kategorie der Spektren ein Isomorphismus ist. Solche Abbildungen heißen Äquivalenzen.

Verallgemeinerte Homologietheorien

Ein Spektrum definiert eine (reduzierte) verallgemeinerte Homologietheorie durch

<math>\tilde{E}_k(X):=\left[\Sigma^k\mathbf{S},E\wedge X\right]</math>,

wobei <math>E\wedge X</math> das mit Hilfe des Smash-Produktes durch <math>(E\wedge X)_n:=E_n\wedge X</math> definierte Spektrum bezeichnet.

Insbesondere ist <math>\tilde{E}_k(S^0)=\pi_k(E)</math>.

Beispiel

<math>MO_k(X)</math> ist isomorph zur Kobordismusgruppe singulärer <math>k</math>-Mannigfaltigkeiten in <math>X</math>.

Verallgemeinerte Kohomologietheorien

Jedes Spektrum <math>E</math> definiert eine verallgemeinerte (reduzierte) Kohomologietheorie durch

<math>\widetilde{E}^k(X):=\operatorname{colim}_{n\to\infty}\left[S^nX,E_{n+k}\right]</math>

für topologische Räume <math>X</math>, wobei <math>\left[.,.\right]</math> die Homotopieklassen punktierter stetiger Abbildungen bezeichnet. (Man sagt, die Kohomologietheorie wird durch das Spektrum dargestellt.)

Die zugehörige unreduzierte Kohomologietheorie wird mit <math>E^*(X)</math> bezeichnet.

Beispiele

Das Eilenberg-MacLane-Spektrum <math>K(G,n)</math> definiert die singuläre Kohomologie <math>H^*(X;G)</math>, das topologische K-Theorie-Spektrum definiert topologische K-Theorie.

Berechnung

Verallgemeinerte Kohomologiegruppen <math>E^*</math> eines Raumes <math>X</math> können oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden. Diese ist eine gegen <math>E^*(X)</math> konvergierende Spektralsequenz mit <math>E_2</math>-Term

<math>E_2^{pq}=H^p(X;E^q(X))</math>,

wobei <math>H^*(.;E^q(X))</math> singuläre Kohomologie mit Koeffizienten-Gruppe <math>E^q(X)</math> bezeichnet.

Brownscher Darstellbarkeitssatz

Aus dem Brownschen Darstellbarkeitssatz folgt, dass sich jede reduzierte verallgemeinerte Kohomologietheorie durch ein <math>\Omega</math>-Spektrum darstellen lässt.

Smash-Produkt

Für ein Spektrum <math>E=(E_n,\sigma_n)</math> und einen Raum <math>X</math> definiert man das Spektrum <math>E\wedge X</math> durch <math>(E\wedge X)_n:=E_n\wedge X</math> und die Strukturabbildungen <math>\Sigma_n\wedge id_X</math>.

Es gibt eine auf Adams zurückgehende Konstruktion, die zwei Spektren <math>E</math> und <math>F</math> ein Smash-Produkt <math>E\wedge F</math> zuordnet, welches die folgenden Eigenschaften hat:

• Das Smash-Produkt ist ein kovarianter Funktor beider Argumente.
• Es gibt natürliche Äquivalenzen <math>\alpha\colon(E\wedge F)\wedge G\to E\wedge (F\wedge G), \tau\colon E\wedge F\to F\wedge E, l\colon\mathbf{S}\wedge E\to E, r\colon E\wedge\mathbf{S}\to E, \Sigma\colon \Sigma E\wedge F\to\Sigma(E\wedge F)</math>.
• Für jedes Spektrum <math>E</math> und jeden CW-Komplex <math>X</math> gibt es eine natürliche Äquivalenz <math>e\colon E\wedge X\to E\wedge\Sigma^\infty X</math>. Insbesondere <math>\Sigma^\infty(X\wedge Y)\simeq \Sigma^\infty X\wedge\Sigma^\infty Y</math> für alle CW-Komplexe <math>X,Y</math>.
• Wenn <math>f\colon E\to F</math> eine Äquivalenz ist, dann auch <math>f\wedge id_G\colon E\wedge G\to F\wedge G</math>.
• Für eine Familie <math>\left\{E_\Lambda\right\}</math> von Spektra ist <math>\left\{i_\Lambda\wedge id_F\right\}\colon \vee_\Lambda(E_\Lambda\wedge F)\to (\vee_\Lambda(E_\Lambda))\wedge F</math> eine Äquivalenz.
• Wenn <math>A\to B\to C</math> eine Kofaserung von Spektra ist, dann auch <math>A\wedge E\to B\wedge E\to C\wedge E</math>.

Ringspektren

Ein Ringspektrum ist ein Spektrum <math>R</math> mit einem Smash-Produkt <math>\wedge</math> und mit Morphismen

<math>\mu\colon R\wedge R\to R, \epsilon\colon\mathbf{S}\to R,</math>

<math> \alpha\colon R\wedge(R\wedge R)\to(R\wedge R)\wedge R, \lambda\colon\mathbf{S}\wedge R\to R,\rho\colon R\wedge\mathbf{S}\to R</math>,

die den Bedingungen

<math>\mu\circ(\mu\wedge id)\circ\alpha=\mu\circ (id\wedge\mu)\colon R\wedge(R\wedge R)\to R</math>

<math>\mu\circ(\epsilon\wedge id)=\lambda\colon\mathbf{S}\wedge R\to R, \mu\circ(id\wedge\epsilon)=\rho\colon R\wedge\mathbf{S}\to R</math>

genügen.

Siehe auch

• Orthogonales Thom-Spektrum
• Unitäres Thom-Spektrum
• Symplektisches Thom-Spektrum

Literatur

• Spanier, E. H.; Whitehead, J. H. C.: A first approximation to homotopy theory. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 39, (1953). 655–660. pdf
• Lima, Elon L.: Stable Postnikov invariants and their duals. Summa Brasil. Math. 4 1960 193–251.
• Adams, J. F.: Stable homotopy and generalised homology. Reprint of the 1974 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1995. ISBN 0-226-00524-0

Weblinks

• Greenlees: Spectra for commutative algebraists
• Rognes: The sphere spectrum
• Malkiewich: The stable homotopy category
• Schwede: Symmetric spectra