Selbergsche Zetafunktion
Die Selbergsche Zetafunktion ist eine Funktion aus dem mathematischen Gebiet der harmonischen Analysis. Sie wird verwendet, um den Zusammenhang zwischen den Eigenwerten des Laplace-Operators und dem Längenspektrum einer hyperbolischen Fläche zu untersuchen.
Definition[Bearbeiten]
Es sei <math>S=\Gamma\backslash H^2</math> eine hyperbolische Fläche oder Orbifaltigkeit. Für eine einfache geschlossene Geodäte <math>\gamma\subset S</math> bezeichne <math>l(\gamma)</math> ihre Länge. Die Selbergsche Zetafunktion <math>{\mathcal Z}_\Gamma\colon\Complex\to \Complex\cup\left\{\infty\right\}</math> wird durch meromorphe Fortsetzung der für <math>\operatorname{Re}(s) \gg 0</math> durch
- <math>\mathcal{Z}_\Gamma(s)=\prod_\gamma\prod_{k=0}^\infty(1-e^{-l(\gamma)(s+k)})</math>
gegebenen Funktion definiert.
Nullstellen[Bearbeiten]
Die Nullstellen der Selbergschen Zetafunktion sind diejenigen Zahlen <math>s_j</math>, die die Gleichung
- <math>s_j(1-s_j)=\lambda_j</math>
für einen der Eigenwerte
- <math>0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\ldots</math>
des Laplace-Operators auf <math>S</math> erfüllen.
Mayerscher Transfer-Operator[Bearbeiten]
Für <math>\Gamma=SL(2,\Z)</math> hat man die Identität
- <math>{\mathcal Z}_\Gamma(s)=\det(1-{\mathcal L}_s^2)</math>.
Dabei bezeichnet <math>{\mathcal L}_s\colon V\to V</math> den Mayerschen Transferoperator auf dem Raum <math>V</math> der Funktionen, die auf der offenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt <math>1</math> und Radius <math>\tfrac{3}{2}</math> holomorph und auf ihrem Rand stetig sind. Er ist definiert durch
- <math>{\mathcal L}_s\phi(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(z+n)^{2s}}\,\phi\left(\frac{1}{z+n}\right)</math>.
Literatur[Bearbeiten]
- U. Bunke, M. Olbrich: Selberg Zeta and Theta Functions. A differential operator approach. (= Mathematical Research. Vol. 83). Akademie-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-05-501690-4.
- E. d'Hoker, D. H. Phong: Multiloop Amplitudes for the Bosonic Polyakov String. In: Nucl. Phys. B 269, 1986, S. 205–234.
- E. d'Hoker, D. H. Phong: On Determinants of Laplacians on Riemann Surfaces. In: Commun. Math. Phys. Band 104, 1986, S. 537–545.
- D. Fried: Analytic Torsion and Closed Geodesics on Hyperbolic Manifolds. In: Invent. Math. Band 84, 1986, S. 523–540.
- A. Selberg: Harmonic Analysis and Discontinuous Groups in Weakly Symmetric Riemannian Spaces with Applications to Dirichlet Series. In: J. Indian Math. Soc. Band 20, 1956, S. 47–87.
- A. Voros: Spectral Functions, Special Functions and the Selberg Zeta Function. In: Commun. Math. Phys. Band 110, 1987, S. 439–465.