sl(2,R)

Vorlage:Hinweisbaustein In der Mathematik ist die Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> der Prototyp einer (reellen) einfachen Lie-Algebra.

Die <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe <math>SL(2,\R)</math>. Sie ist die spaltbare reelle Form der komplexen Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>.

Die Lie-Gruppe <math>SL(2,\R)</math> hat vielfältige Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Kommutator-Relationen

<math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> ist die Lie-Algebra der spurlosen 2×2-Matrizen

<math>\mathfrak{sl}(2,\R)=\left\{A\in Mat(2,\R):\operatorname{Spur}(A)=0\right\}</math>

mit dem Kommutator von Matrizen als Lie-Klammer.

Als Vektorraum wird sie von der Basis

<math>

x= \begin{pmatrix}0&1\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad y=\begin{pmatrix}0&0\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad h=\begin{pmatrix}1&0\\ 0 & -1\end{pmatrix} </math> aufgespannt: <math>\mathfrak{sl}(2,\R)=\langle \{x,y,h\} \rangle_{\R}</math>. Die Struktur als Lie-Algebra wird durch die folgenden Kommutator-Relationen festgelegt:

<math>

[x,y]=h, \quad [h,x]=2x, \quad [h,y]=-2y </math>

Eigenschaften und Struktur

Einfachheit

<math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei <math>\mathfrak{a}</math> ein nichttriviales Ideal in <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> und sei <math>ax + bh + cy\in\mathfrak{a}\setminus 0</math> mit <math>a,b,c\in \R</math>. Wenn <math>a = c = 0</math>, dann <math>h\in \mathfrak{a}</math>, damit <math>2x = \left[h,x\right]\in\mathfrak{a}</math> und <math> 2y = \left[h,y\right]\in\mathfrak{a}</math>, also <math>\mathfrak{a}=\mathfrak{sl}(2,\R)</math>. Also können wir <math>a\not=0</math> oder <math>c\not=0</math> annehmen, o. B. d. A. <math>a\not=0</math>. Aus <math>\left[y, \left[y, ax + bh + cy \right]\right] = \left[y, ah + 2by \right] = ay </math> folgt dann <math>y \in\mathfrak{a}</math> und damit auch <math>h=\left[x,y\right]\in\mathfrak{a}</math>, also wieder <math>\mathfrak{a}=\mathfrak{sl}(2,\R)</math>.

Killing-Form

Die Killing-Form von <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> lässt sich explizit durch die Formel

<math>B(v,w)=4\operatorname{Spur}(vw)</math>

berechnen, es ist also

<math>B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8</math>

<math>B(x,y)=4,\ B(x,h)=0,\ B(y,h)=0</math>.

Isomorphismus sl(2,R)=o(2,1)

Die adjungierte Darstellung von <math>SL(2,\R)</math> auf <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> erhält die Killing-Form. Weil die Killing-Form Signatur (2,1) hat, realisiert dies eine Abbildung

<math>Ad\colon SL(2,\R)\to O(2,1)</math>

und man kann zeigen, dass <math>Ad</math> ein Gruppenisomorphismus <math>PSL(2,\R)\to SO(2,1)</math> ist. Insbesondere ist die Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> isomorph zu <math>\mathfrak{so}(2,1)</math>.

Cartan-Involution

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe <math>SL(2,\R)</math> ist die Spezielle orthogonale Gruppe <math>K=SO(2)</math>, ihre Lie-Algebra <math>\mathfrak{k}=\mathfrak{so}(2)</math> ist die Lie-Algebra der schiefsymmetrischen Matrizen:

<math>\mathfrak{so}(2)=\left\{A\in Mat(2,\R):A^T=-A\right\}</math>.

Eine Cartan-Involution von <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> ist gegeben durch

<math>\theta(A)=-A^T</math>.

<math>\mathfrak{k}=\mathfrak{so}(2)</math> ist ihr Eigenraum zum Eigenwert <math>1</math>. Man erhält die Cartan-Zerlegung

<math>\mathfrak{sl}(2,\R)=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}</math>,

wobei <math>\mathfrak{p}=\left\{A\in\mathfrak{sl}(2,\R):A=A^T\right\}</math> der Eigenraum zum Eigenwert <math>-1</math> ist.

Iwasawa-Zerlegung

Eine Iwasawa-Zerlegung von <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> ist

<math>\mathfrak{sl}(2,\R)=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{n}</math>

mit <math>\mathfrak{k}=\mathfrak{so}(2),\ \mathfrak{a}=\left\{\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}:\lambda\in\R\right\},\ \mathfrak{n}=\left\{\begin{pmatrix}0&n\\ 0&0\end{pmatrix}:n\in\R\right\}</math>.

Cartan-Unteralgebren

<math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

<math>\mathfrak{h}_0=\R\left(\begin{array}{cc}1&0\\

0&-1\end{array}\right)</math> und

<math>\mathfrak{h}_1=\R\left(\begin{array}{cc}0&1\\

-1&0\end{array}\right)</math>.<ref>Anthony W. Knapp - Lie Groups beyond an Introduction, Chapter VI.6</ref>

Wurzelsystem

Das Wurzelsystem zu <math>\mathfrak{h}_0</math> ist

<math>R=\left\{\alpha_{12}=\begin{pmatrix}1&0\\

0&-1\end{pmatrix},\ \alpha_{21}=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\right\}</math>. Die dualen Wurzeln sind

<math>\alpha_{12}^*\begin{pmatrix}\lambda&0\\

0&-\lambda\end{pmatrix}=2\lambda,\ \alpha_{12}^*\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&-\lambda\end{pmatrix}=-2\lambda</math>. Die zugehörigen Wurzelräume sind

<math>\mathfrak{g}_{\alpha_{12}}=\R\begin{pmatrix}0&1\\

0&0\end{pmatrix},\ \mathfrak{g}_{\alpha_{21}}=\R\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}</math>. Als positive Weyl-Kammer kann man

<math>\mathfrak{h}_0^+=\left\{\begin{pmatrix}\lambda&0\\

0&-\lambda\end{pmatrix}: \lambda>0\right\}</math> wählen. Dann ist <math>\alpha_{12}</math> die (einzige) positive Wurzel und insbesondere eine einfache Wurzel.

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe <math>S_2</math>.

Darstellungen von sl(2,R)

Jede Darstellung von <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> entspricht durch Tensorieren mit <math>\Complex</math> einer <math>\Complex</math>-linearen Darstellung von <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>, man erhält also alle Darstellungen von <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> als Einschränkungen von Darstellungen der sl(2,C).

Weblinks

• Nicolas Perrin: The Lie Algebra <math>\mathfrak{sl}_2</math> pdf

Einzelnachweise

<references />