Cartan-Matrix

Eine Cartan-Matrix, benannt nach Élie Cartan, ist eine Matrix, die in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren zur Klassifikation dieser Algebren verwendet wird.

Cartan-Matrix einer Lie-Algebra[Bearbeiten]

Zur Definition der Cartan-Matrizen werden einige Begriffe und Tatsachen aus der Theorie der Lie-Algebren benötigt, die hier kurz zusammengestellt werden. Es sei <math>L</math> eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\Complex</math>. <math>H</math> sei eine darin enthaltene Cartan-Unteralgebra. Für <math>x\in L</math> sei

<math>\mathrm{ad}\,x:L\rightarrow L,\quad y\mapsto [x,y]</math>

die sogenannte Adjunktion mit <math>x</math>. In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man, dass durch <math>\langle x,y \rangle := \mathrm{Spur}((\mathrm{ad}\,x)(\mathrm{ad}\,y))</math> eine symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform definiert ist, die sogenannte Killing-Form. Deren Einschränkung auf <math>H</math> ist ebenfalls nicht-ausgeartet, das heißt jedes Element des Dualraums <math>\alpha \in H^*</math> ist von der Form

<math>\alpha_x: H\rightarrow \Complex, \, y\mapsto \langle x,y \rangle</math>

für ein eindeutig bestimmtes <math>x\in H</math>. Mittels des Vektorraumisomorphismus <math>\iota: H\rightarrow H^*, x\mapsto \alpha_x</math> überträgt man die Killing-Form zu einer nicht-ausgearteten Bilinearform auf <math>H^*</math>, das heißt man setzt <math>\langle \alpha,\beta \rangle := \langle \iota^{-1}(\alpha),\iota^{-1}(\beta) \rangle</math>.

Weiter zeigt man, dass es eine endliche Menge <math>\Phi \subset H^*\setminus \{0\}</math> linearer Funktionale <math>\alpha:H\rightarrow \Complex</math> gibt, so dass

<math>L=H \oplus \sum_{\alpha\in \Phi} L_\alpha</math>

wobei

<math>L_\alpha := \{x\in L|\,\forall h\in H:\, \exists n\in \N:\, (\mathrm{ad}\,h - \alpha(h)\mathrm{id}_H)^n x=0\}</math>

und <math>L_\alpha</math> nicht der Nullraum ist. Aus dieser Menge <math>\Phi</math> der sogenannten Wurzeln kann man eine Teilmenge <math>\Phi_0\subset \Phi</math> auswählen, so dass jedes <math>\alpha \in \Phi</math> eindeutige Linearkombination der Elemente aus <math>\Phi_0</math> ist, wobei die Koeffizienten entweder alle positiv oder alle negativ sind. <math>\Phi_0 = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_l\}</math> heißt eine Menge von Fundamentalwurzeln, sie ist eine Vektorraumbasis der Cartan-Unteralgebra <math>H</math>.

Die Cartan-Matrix der Lie-Algebra ist definiert als die Matrix mit Koeffizienten <math>A_{i,j} := 2\frac{\langle \alpha_i,\alpha_j \rangle}{\langle \alpha_i,\alpha_i \rangle}, \quad i,j=1,\ldots l</math>.<ref>Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.1: The Cartan matrix</ref><ref>James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.1: Cartan matrix of <math>\Phi</math></ref>

Zwei Cartan-Matrizen heißen äquivalent, wenn sie durch Änderung der Anordnung der Basis auseinander hervorgehen. Da die Basisvektoren <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_l</math> beliebig permutiert werden können, kann eine Cartan-Matrix natürlich nur bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmt sein. Man kann zeigen, dass die Äquivalenzklasse der Cartan-Matrix nicht von den anderen Wahlmöglichkeiten in obiger Konstruktion abhängt, das heißt nicht von der Wahl der Cartan-Unteralgebra und auch nicht von der Wahl der Fundamentalwurzeln <math>\Phi_0\subset \Phi</math>.

Beispiele[Bearbeiten]

<math>(2)</math> ist die einzige <math>1\times 1</math>-Matrix, die eine Cartan-Matrix ist.
<math>\begin{pmatrix} 2&-1\\ -1& 2\end{pmatrix}</math> ist Cartan-Matrix der dreidimensionalen, speziellen linearen Lie-Algebra.

Da wir unten eine vollständige Klassifikation aller Cartan-Matrizen angeben, erübrigen sich an dieser Stelle weitere Beispiele.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Sei <math>A=(A_{i,j})_{i,j}</math> eine Cartan-Matrix. Dann gilt:

<math>A_{i,i} = 2</math> für alle <math>i</math>.
<math>A_{i,j} \in \{0,-1,-2,-3\}</math> für alle <math>i\not = j</math>
Wenn <math>A_{i,j} \in \{-2,-3\}</math> so ist <math>A_{j,i} = -1</math>
<math>A_{i,j} = 0</math> genau dann, wenn <math>A_{j,i} = 0</math>
<math>A</math> ist regulär, die inverse Matrix hat nur nicht-negative rationale Koeffizienten.<ref>Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Satz 10.18</ref>
Es gibt eine Diagonalmatrix <math>D</math> und eine symmetrische Matrix <math>B</math> mit <math>A=DB</math>.

Zerlegbarkeit der Cartan-Matrizen[Bearbeiten]

Ist die Cartan-Matrix einer Lie-Algebra <math>L</math> äquivalent zu einer Matrix der Form

<math>\begin{pmatrix} A_1&0\\ 0& A_2\end{pmatrix}</math>

mit Untermatrizen <math>A_1</math> und <math>A_2</math>, so heißt die Cartan-Matrix zerlegbar. Man kann zeigen, dass <math>A_1</math> und <math>A_2</math> ihrerseits wieder Cartan-Matrizen sind. Dieser Zerlegung entspricht eine direkte Summenzerlegung

<math>L=L_1\oplus L_2</math>

in Ideale <math>L_1</math> und <math>L_2</math>, dabei ist <math>A_i</math> Cartan-Matrix von <math>L_i</math>. Es genügt daher alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen zu kennen, diese gehören dann zu einfachen Lie-Algebren.

Bedeutung[Bearbeiten]

Die Zuordnung

Isomorphieklassen endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren <math>\mapsto</math> Äquivalenzklassen von Cartan-Matrizen

ist eine vollständige Isomorphie-Invariante, d. h.

Isomorphe endlichdimensionale einfache Lie-Algebren haben äquivalente Cartan-Matrizen.
Endlichdimensionale einfache Lie-Algebren mit äquivalenten Cartan-Matrizen sind isomorph.

Klassifikation der unzerlegbaren Cartan-Matrizen[Bearbeiten]

Man kann alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen (bis auf Äquivalenz) angeben. Die Benennung in der folgenden Aufzählung folgt der üblichen Klassifikation endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren.<ref>Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification of Cartan matrices</ref><ref>James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 11.4: Classification Theorem</ref>

<math>A_n = \begin{pmatrix}

2 & -1 & & & & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & & & & \\

 & -1 & 2 & -1 & & & & & \\
 & & -1 & \cdot & \cdot & & & & \\
 & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & \\
 & & & & \cdot & \cdot & -1 & & \\ 
 & & & & & -1 & 2 & -1 & \\
 & & & & & & -1 & 2 & -1 \\
 & & & & & & & -1 & 2

\end{pmatrix} \quad\quad n\ge 1</math>

<math>B_n = \begin{pmatrix}

2 & -1 & & & & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & & & & \\

 & -1 & 2 & -1 & & & & & \\
 & & -1 & \cdot & \cdot & & & & \\
 & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & \\
 & & & & \cdot & \cdot & -1 & & \\ 
 & & & & & -1 & 2 & -1 & \\
 & & & & & & -1 & 2 & -1 \\
 & & & & & & & -2 & 2

\end{pmatrix} \quad\quad n\ge 2</math>

<math>C_n = \begin{pmatrix}

2 & -1 & & & & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & & & & \\

 & -1 & 2 & -1 & & & & & \\
 & & -1 & \cdot & \cdot & & & & \\
 & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & \\
 & & & & \cdot & \cdot & -1 & & \\ 
 & & & & & -1 & 2 & -1 & \\
 & & & & & & -1 & 2 & -2 \\
 & & & & & & & -1 & 2

\end{pmatrix} \quad\quad n\ge 3</math>

<math>D_n = \begin{pmatrix}

2 & -1 & & & & & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & & & & & \\

 & -1 & 2 & -1 & & & & & & \\
 & & -1 & \cdot & \cdot & & & & & \\
 & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & & \\
 & & & & \cdot & \cdot & -1 & & & \\ 
 & & & & & -1 & 2 & -1 & & \\
 & & & & & & -1 & 2 & -1 & -1 \\
 & & & & & & & -1 & 2 & \\
 & & & & & & & -1 & & 2

\end{pmatrix} \quad\quad n\ge 4</math>

<math>E_6 = \begin{pmatrix}

2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\

& -1& 2& -1 & -1 & \\
& & -1 & 2& & \\
& & -1 & & 2 & -1\\
& & & & -1 & 2

\end{pmatrix}</math>

<math>E_7 = \begin{pmatrix}

2 & -1 & & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & &\\

& -1& 2& -1 & & & \\
& & -1& 2 & -1 & -1 & \\
& & & -1 & 2& & \\
& & & -1 & & 2 & -1\\
& & & & & -1 & 2

\end{pmatrix}</math>

<math>E_8 = \begin{pmatrix}

2 & -1 & & & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & & & \\

& -1& 2& -1 & & & & \\
& & -1& 2 & -1 & & & \\
& & & -1& 2 & -1 & -1 & \\
& & & & -1 & 2& & \\
& & & & -1 & & 2 & -1\\
& & & & & & -1 & 2

\end{pmatrix}</math>

<math>F_4 = \begin{pmatrix}

2 & -1 & & \\ -1 & 2 & -1 & \\

 & -2 & 2& -1\\
 & & -1 & 2

\end{pmatrix}</math>

<math>G_2 = \begin{pmatrix}

2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}</math>

Existenzsatz[Bearbeiten]

In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man mit einigem Aufwand, dass jede endlichdimensionale einfache Lie-Algebra eine Cartan-Matrix aus obiger Liste haben muss. Wesentlich schwieriger ist der Beweis, dass es zu jeder dieser Cartan-Matrizen <math>A=(A_{i,j})_{i,j}</math> tatsächlich eine passende endlichdimensionale einfache Lie-Algebra gibt. Dass das in der Tat so ist, besagt der sogenannte Existenzsatz. Natürlich könnte man zu jeder der angegebenen Matrizen eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra angeben und nachrechnen, dass deren Cartan-Matrix die vorgegebene Matrix ist. In einer allgemeinen Konstruktion betrachtet man die von Erzeugern <math>\{e_1,\ldots, e_n, h_1,\ldots, h_n, f_1, \ldots, f_n\}</math> frei erzeugte Lie-Algebra mit Relationen

<math> [e_i,[e_i[\ldots [e_i,e_j]]]]</math> mit <math>i\not= j</math> und <math>1-A_{i,j}</math> Vorkommen von <math>e_i</math>

<math> [f_i,[f_i[\ldots [f_i,f_j]]]]</math> mit <math>i\not= j</math> und <math>1-A_{i,j}</math> Vorkommen von <math>f_i</math>.

Von dieser Lie-Algebra kann man zeigen, dass es sich um eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra mit passender Cartan-Matrix handelt. Eine besondere Schwierigkeit liegt im Nachweis der endlichen Dimension.<ref>Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 7.5: The existence theorem</ref> Das ist der auf Jean-Pierre Serre zurückgehende Beweis des Existenzsatzes. Man beachte, dass diese allgemeine Konstruktion nur von den Daten der vorgelegten Cartan-Matrix abhängt. Das zeigt noch einmal, dass die Kenntnis der Cartan-Matrix die endlichdimensionale einfache Lie-Algebra bestimmt.

Beziehung zu Dynkin-Diagrammen[Bearbeiten]

Datei:Connected Dynkin Diagrams.svg

Die zusammenhängenden Dynkin-Diagramme

Die Cartan-Matrizen stehen in enger, wechselseitiger Beziehung zu den Dynkin-Diagrammen. Zu jeder Cartan-Matrix <math>A=(A_{i,j})_{i,j}</math> mit unterem Index <math>n</math> konstruiert man einen Graphen, den man dann das zugehörige Dynkin-Diagramm nennt, mit <math>n</math> Knoten <math>\{x_1, \ldots, x_n\}</math> und verbindet je zwei verschiedene Knoten <math>x_i</math> und <math>x_j</math> durch <math>A_{i,j}A_{j,i}</math> Kanten. Sind <math>x_i</math> und <math>x_j</math> durch mehr als eine Kante verbunden, so setzt man noch einen Winkel > durch diese Kanten, wobei das spitze Ende genau dann zu <math>x_j</math> zeigt, wenn <math>|A_{j,i}|>|A_{i,j}|</math>.<ref>Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 6.4: Classification Cartan matrices</ref> Aus dem Dynkin-Diagramm kann man die Cartan-Matrix zurückgewinnen. Die Unzerlegbarkeit auf der Seite der Cartan-Matrizen korrespondiert genau zum Zusammenhang der Dynkin-Diagramme. In nebenstehender Zeichnung sind alle Dynkin-Diagramme zu den unzerlegbaren Cartan-Matrizen <math>A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2</math> angegeben.

Einzelnachweise[Bearbeiten]