Freie Lie-Algebra

In der mathematischen Theorie der Lie-Algebren ist eine freie Lie-Algebra bzw. frei erzeugte Lie-Algebra eine Lie-Algebra, die frei in der Kategorie der Lie-Algebren und Lie-Homomorphismen ist. Damit lassen sich Lie-Algebren mit vorgegebenen Erzeugern und Relationen konstruieren.

Definition[Bearbeiten]

Wir betrachten einen festen Körper <math>K</math> als Koeffizientenbereich. Zu einer vorgegebenen Menge <math>X\not=\emptyset</math> sei <math>A(X)</math> die frei erzeugte assoziative K-Algebra über <math>X</math>, <math>i\colon X\rightarrow A(X)</math> sei die Inklusionsabbildung. Durch die Lie-Klammer

wird <math>A(X)</math> zu einer Lie-Algebra. Darin sei

<math>FL(X) := \bigcap \{L| L\subset A(X) \text{ ist Lie-Unteralgebra mit } i(X)\subset L\}</math>

der Durchschnitt aller <math>i(X)</math> enthaltenden Lie-Unteralgebren von <math>A(X)</math>. Dies ist nicht der Durchschnitt über eine leere Menge, denn <math>A(X)</math> ist eine Lie-Unteralgebra, die <math>i(X)</math> enthält.

<math>FL(X)</math> heißt freie Lie-Algebra über <math>X</math>.<ref>Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 9.3: Free Lie algebras</ref>

Nach Konstruktion ist <math>i(X) \subset FL(X)</math>, das heißt wir können <math>i</math> auch als Inklusionsabbildung <math>X\rightarrow FL(X)</math> auffassen.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten]

Die freie Lie-Algebra <math>FL(X)</math> über <math>X</math> erfüllt folgende universelle Eigenschaft:

Sei <math>\theta\colon X\rightarrow L</math> eine Abbildung von <math>X</math> in eine Lie-Algebra <math>L</math>. Dann gibt es genau einen Lie-Algebren-Homomorphismus <math>\varphi\colon FL(X) \rightarrow L</math> mit <math>\varphi \circ i = \theta</math>.<ref>Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Satz 9.9</ref>

Dies rechtfertigt die Bezeichnung freie Lie-Algebra.

Alternative Konstruktion[Bearbeiten]

Bei Bourbaki findet sich eine alternative Konstruktion der freien Lie-Algebra. Für eine nicht-leere Menge <math>X</math> sei <math>M(X)</math> das freie Magma über <math>X</math> und <math>\mathrm{Lib}(X)</math> der frei über <math>M(X)</math> erzeugte <math>K</math>-Vektorraum mit der linear von <math>M(X)</math> fortgesetzten Multiplikation. Darin betrachte das Ideal <math>I\subset \mathrm{Lib}(X)</math>, das von allen Ausdrücken der Form

<math>a\cdot a,\quad a\in \mathrm{Lib}(X)</math>

<math>a\cdot (b\cdot c) + b\cdot (c\cdot a) +c\cdot (a\cdot b), \quad a,b,c\in \mathrm{Lib}(X)</math>

erzeugt wird. Dann heißt <math> \mathrm{Lib}(X)/I</math> die frei über <math>X</math> erzeugte Lie-Algebra.<ref>N. Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3, Springer Verlag (1989), ISBN 3-540-64242-0, Kapitel II, §2.2: Construction of the free Lie algebra</ref> Durch den Übergang zur Quotientenalgebra werden die aufgezählten Elemente zum Nullelement, denn sie liegen ja definitionsgemäß im Ideal <math>I</math>. Daher gelten in <math> \mathrm{Lib}(X)/I</math> die Antikommutativität und Jacobi-Identität, das heißt man erhält eine Lie-Algebra. Von dieser wird gezeigt, dass sie obige universelle Eigenschaft erfüllt.<ref>N. Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3, Springer Verlag (1989), ISBN 3-540-64242-0, Kapitel II, §2.2, Satz1</ref> Da je zwei Lie-Algebren, die dieselbe universelle Eigenschaft in Bezug auf <math>X</math> erfüllen, isomorph sein müssen, kann diese Konstruktion als Alternative zur oben angegebenen betrachtet werden.

Beispiele[Bearbeiten]

Ist <math>X=\{x\}</math> einelementig, so ist <math>A(\{x\})</math> isomorph zur kommutativen Polynomalgebra aller Polynome in der Unbestimmten <math>x</math>. Als Lie-Algebra ist <math>A(\{x\})</math> daher abelsch, das heißt jeder Untervektorraum ist eine Lie-Unteralgebra. Damit ist <math>FL(\{x\})</math> definitionsgemäß der kleinste Untervektorraum, der <math>i(x)</math> enthält, und das ist <math>K\cdot i(x)</math>. Also ist

<math>FL(\{x\}) \cong K</math> die triviale eindimensionale Lie-Algebra.<ref>N. Bourbaki: Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 1-3, Springer Verlag (1989), ISBN 3-540-64242-0, Kapitel II, §2.2, Bemerkung auf Seite 123</ref>

Die universelle einhüllende Algebra der freien Lie-Algebra <math>FL(X)</math> ist isomorph zur freien assoziativen Algebra über <math>X</math>, in Formeln <math>\mathcal{U}(FL(X)) \cong A(X)</math>.<ref>Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Satz 9.10</ref>

Erzeuger und Relationen[Bearbeiten]

Konstruktion[Bearbeiten]

Sei wieder <math>X</math> eine nicht-leere Menge. Ein Lie-Wort über <math>X</math> ist eine endliche Linearkombination von endlichen Lie-Monomen, das heißt endlichen Lie-Produkten von Elementen aus <math>X</math>. Ein Beispiel für ein Lie-Monom ist

<math>[[[x_1,x_2],x_1],[x_1,x_3]],\quad x_1,x_2,x_3 \in X </math>,

ein Beispiel für ein Lie-Wort ist

<math>7\cdot [[[x_1,x_2],x_1],[x_1,x_3]] - [[[[x_1,x_1],x_1],x_1],x_2],\quad x_1,x_2,x_3 \in X </math>.

Für eine Menge <math>R</math> von Lie-Wörtern über <math>X</math> sei <math>\langle R \rangle \subset FL(X)</math> das von <math>R\subset FL(X)</math> erzeugte Lie-Ideal. Dann heißt die Quotientenalgebra

<math>L(X;R) := FL(X)/\langle R \rangle</math>

die von der Menge <math>X</math> und den Relationen <math>R</math> erzeugte Lie-Algebra.

Wie bei der in der Gruppentheorie betrachteten Präsentation einer Gruppe kann man auch hier Lie-Algebren mit vorgegebenen Eigenschaften konstruieren, genauer wird jedes Lie-Wort <math>w</math> zu einer Gleichung <math>w=0</math> in <math>L(X;R)</math>.

Beispiele[Bearbeiten]

<math>L(X; \emptyset) = FL(X)</math>, denn das von der leeren Menge erzeugte Ideal ist <math>\{0\}</math>.

Sei <math>R</math> die Menge aller Lie-Wörter <math>[x_1,x_2], \, x_1,x_2 \in X</math>. Dann ist <math>L(X;R)</math> die von <math>X</math> erzeugte abelsche Lie-Algebra, das heißt der von <math>X</math> frei erzeugte K-Vektorraum mit der Nullmultiplikation als Lie-Klammer.

Es seien <math>X=\{e_1,\ldots, e_n, h_1,\ldots, h_n, f_1, \ldots, f_n\}</math> und <math>A_{i,j}</math> gewisse reelle Konstanten, die bei verschiedenen Indizes kleiner gleich 0 sind.

Es sei dann <math>R</math> die Menge der Relationen

<math> [e_i,[e_i[\ldots [e_i,e_j]]]</math> mit <math>i\not= j</math> und <math>1-A_{i,j}</math> Vorkommen von <math>e_i</math>

<math> [f_i,[f_i[\ldots [f_i,f_j]]]</math> mit <math>i\not= j</math> und <math>1-A_{i,j}</math> Vorkommen von <math>f_i</math>

Dann spielt die Lie-Algebra <math>L(X; R)</math> eine wichtige Rolle im Beweis des Existenzsatzes für halbeinfache Lie-Algebren. Sind die <math>A_{i,j}</math> die Koeffizienten einer Cartan-Matrix, so ist <math>L(X; R)</math> eine endlich-dimensionale Lie-Algebra mit ebendieser Cartan-Matrix. Das ist Serre’s Beweis des Existenzsatzes.<ref>Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Beispiel 9.12</ref><ref>James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 18.3: Serre’s Theorem</ref> Genau diese Techniken werden auch für die Definition von Kac-Moody-Algebren verwendet.<ref>Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 14: Generalized Cartan matrices and Kac-Moody algebras</ref>

Einzelnachweise[Bearbeiten]