Dirac-Verteilung

Die Dirac-Verteilung oder Einpunktverteilung<ref name="PHM-81">P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Einpunktverteilung, S. 81. </ref><ref>Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, 3.12.1 Einpunkt-Verteilung, S. 369. </ref><ref>Hermann Witting, Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Teubner, Stuttgart 1995, ISBN 978-3-322-90153-8, S. 46. </ref>, manchmal auch Punktverteilung<ref>Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 4., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer, Berlin 2020, ISBN 978-3-662-62088-5, S. 369, doi:10.1007/978-3-662-62089-2. </ref>, ausgeartete Verteilung<ref name="PHM-81"/>, entartete Verteilung<ref name="PHM-81"/>, uneigentliche Verteilung<ref name="PHM-81"/>, deterministische Verteilung, Einheitsmasse<ref> Georgii: Stochastik. 2009, S. 14.</ref> oder degenerierte Verteilung genannt, ist eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Der Name Dirac-Verteilung folgt daher, dass sie aus dem Diracmaß abgeleitet wird. Sie ist meist nur von theoretischer Bedeutung und spielt eine wichtige Rolle in der Klassifikation der unendlich teilbaren Verteilungen.

Definition[Bearbeiten]

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Die Verteilungsfunktion von <math> \delta_0 </math>

Eine reelle Zufallsvariable <math> X </math> heißt Dirac-verteilt zum Punkt <math> b </math>, in Symbolen <math> X \sim \delta_b </math>, wenn sie die Verteilungsfunktion

<math> F_X(t)=\begin{cases}

0 & \text{ falls } t <b \\ 1 & \text{ falls } b\leq t \end{cases} </math> besitzt. Die Verteilung von <math>X</math> ist also genau das Diracmaß im Punkt <math> b </math>, das heißt für alle messbaren Mengen <math>A \subset \R</math> gilt

<math> P(X \in A) =\begin{cases}

1 & \text{ falls } b \in A, \\ 0 & \text{ sonst.} \end{cases} </math>

Die Zufallsvariable <math>X</math> nimmt insbesondere fast sicher den Wert <math> b </math> an, es gilt also <math>P(X=b)=1</math>, worauf der Name deterministische Verteilung zurückzuführen ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Lagemaße[Bearbeiten]

Erwartungswert, Modus und Median fallen alle zusammen und sind gleich dem Punkt <math> b </math>

Streumaße[Bearbeiten]

Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient fallen zusammen und sind alle gleich <math> 0 </math>

Symmetrie[Bearbeiten]

Die Dirac-Verteilung ist symmetrisch um <math> b </math>.

Höhere Momente[Bearbeiten]

Die Momente sind gegeben durch

Entropie[Bearbeiten]

Die Entropie der Dirac-Verteilung ist 0.

Kumulanten[Bearbeiten]

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

<math> g_X(t)=bt </math>.

Damit ist <math> \kappa_1=b </math> und alle weiteren Kumulanten sind gleich 0.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion ist

<math>\varphi_X(t)=e^{ibt}\,</math>

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion ist

Reproduktivität, α-Stabilität und unendliche Teilbarkeit[Bearbeiten]

Die Klasse der Dirac-Verteilungen ist reproduktiv, da die Summe Dirac-verteilter Zufallsvariablen wieder Dirac-verteilt ist, da für die Faltung

<math> \delta_x* \delta_y=\delta_{x+y} </math>

gilt. Des Weiteren sind Dirac-Verteilungen α-stabile Verteilungen mit <math> \alpha=1 </math>. Teilweise werden aber Dirac-Verteilungen explizit von der Definition der α-Stabilität ausgeschlossen. Außerdem sind Dirac-Verteilungen unendlich teilbar, da <math> \delta_{b/n}^{*n}=\delta_b </math> gilt.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Die Dirac-Verteilung tritt meist als degenerierter Fall bei schlechter Parameterwahl von anderen Verteilungen auf. Beispielsweise sind die Bernoulli-Verteilung, die Zweipunktverteilung und die Binomialverteilung alles Dirac-Verteilungen, wenn man <math> p=0 </math> wählt. Des Weiteren ist auch die diskrete Gleichverteilung auf einem Punkt eine Dirac-Verteilung.

Beziehung zur Delta-Distribution[Bearbeiten]

Insbesondere in der Physik und Technik werden verallgemeinerte Funktionen im Sinn von Distributionen verwendet, die als mathematische Objekte weder Funktionen noch Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind. Die Delta-Distribution (oder Dirac-Funktion) auf den reellen Zahlen ist das Objekt <math>\delta</math> mit der Eigenschaft

<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-b)\mathrm{d}x = f(b)</math>

für eine große Klasse von Funktionen <math>f</math>. Für eine Zufallsvariable <math>X</math> mit einer Dirac-Verteilung an der Stelle <math>b \in \R</math> können die Wahrscheinlichkeiten für ein Ereignis <math>A</math> mit Hilfe der Delta-Distribution formal als

<math>P(X \in A) = \mathbf{1}_A(b) = \begin{cases}1&\text{für } b \in A\\

                  0 &\text{sonst}

\end{cases} = \int_{-\infty}^\infty \mathbf{1}_A(x)\delta(x-b)\mathrm{d}x </math> geschrieben werden. Damit verhält sich <math>\delta(x-b)</math> formal wie eine Dichtefunktion, obwohl die Dirac-Verteilung keine Dichtefunktion bezüglich des Lebesgue-Maßes besitzt.

Literatur[Bearbeiten]

Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

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