Negative hypergeometrische Verteilung

Die negative hypergeometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem endlichen Träger. Sie gehört zu den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und lässt sich aus dem Urnenmodell ableiten.

Definition[Bearbeiten]

Eine Zufallsvariable <math> X </math> auf dem Träger <math> T=\{k, \dots, k+N-M\} </math> heißt negativ hypergeometrisch verteilt, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion

<math> f(n)=\frac{\binom{n-1}{k-1} \cdot \binom{N-n}{M-k}}{\binom{N}{M}}=\frac{\binom{-k}{n-k} \cdot \binom{k-M-1}{N-M-n+k}}{\binom{-M-1}{N-M}}</math>

hat. Dabei ist <math> k\leq M \leq N </math>. Man schreibt dann <math> X \sim \operatorname{NH}(N,M,k) </math>.

Herleitung aus dem Urnenmodell[Bearbeiten]

Die negativ hypergeometrische Verteilung entsteht elementar aus dem Urnenmodell. Betrachtet man eine Urne mit <math> N </math> Kugeln, von denen <math> M </math> markiert sind, und zieht aus dieser Urne ohne Zurücklegen, bis man <math> k </math> markierte Kugeln gezogen hat, so ist die Wahrscheinlichkeit, dafür <math> n </math> Ziehungen zu benötigen, negativ hypergeometrisch verteilt.

Denkt man sich dazu in <math>N</math> Ziehungen nacheinander alle Kugeln einzeln aus der Urne gezogen, dann gibt es insgesamt <math>\tbinom{N}{M}</math> Möglichkeiten, die <math>M</math> markierten Kugeln auf die <math>N</math> Ziehungen zu verteilen. Das Ereignis, dass genau im <math>n</math>-ten Zug die <math>k</math>-te markierte Kugel gezogen wird, tritt genau dann ein, wenn in den <math>n-1</math> Zügen davor <math>k-1</math> markierte Kugeln gezogen werden und in den <math>N-n</math> Zügen danach die restlichen <math>M-k</math> markierten Kugeln. Hierfür gibt es <math>\tbinom{n-1}{k-1} \cdot \tbinom{N-n}{M-k}</math> Möglichkeiten.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten]

Der Erwartungswert ergibt sich zu

<math> \operatorname{E}(X)=\frac{k(N+1)}{M+1} </math>

Varianz[Bearbeiten]

Für die Varianz erhält man

<math> \operatorname{Var}(X)=\frac{k(M+1-k)(N-M)(N+1)}{(M+1)^2(M+2)} </math>

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.

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