Trapezverteilung

Die Trapezverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem kompakten Intervall.

Definition[Bearbeiten]

Beispiel [a,b]=[0,5], [c,d]=[1,3]

Die Trapezverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall <math>\left[a, b\right]</math> definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

<math> f(x)=\begin{cases}

 \frac{2(x-a)}{(b+d-a-c)(c-a)}, & \text{wenn } a \le x < c\\  
 \frac{2}{b+d-a-c},             & \text{wenn } c \le x \le d\\
 \frac{2(b-x)}{(b+d-a-c)(b-d)}, & \text{wenn } d < x \le b.

\end{cases}</math>

Hierbei bestimmen die Parameter <math>a</math> (minimaler Wert), <math>b</math> (maximaler Wert) und das Intervall <math>[c,d]</math> (wahrscheinlichste Werte) die Gestalt der Trapezverteilung mit <math>a\leq c\le d \le b</math>.<ref>Samuel Kotz, Johan René van Dorp: Beyond Beta: Other Continuous Families of Distributions with Bounded Support and Applications. World Scientific 2004, ISBN 978-981-256-115-2</ref> Der Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Trapez aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen.

Verwendung[Bearbeiten]

Die stetige Gleichverteilung legt einen Bereich fest, in dem ein unbekannter Wert mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu finden ist. Für Punkte außerhalb dieses Bereichs bedeutet die stetige Gleichverteilung die oft unrealistische Annahme, dass deren Wahrscheinlichkeit 0 ist. Diesen Mangel gleicht die Trapezverteilung dadurch aus, dass die Wahrscheinlichkeiten für Werte außerhalb eines Bereichs konstanter Wahrscheinlichkeit nicht abrupt, sondern linear auf 0 abfällt.<ref>L. Lash, Matthew P. Fox, Aliza K. Fink: Applying Quantitative Bias Analysis to Epidemiologic Data, Springer-Verlag 2010, ISBN 978-1-4419-2774-3, Kap. 8: Probabilistic Bias Analysis – Trapezoidal Distribution (Seite 121)</ref>

In der Netzplantechnik kann die Trapezverteilung zur Modellierung von Vorgängen eingesetzt werden. Die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> stehen für die optimistische bzw. pessimistische Vorgangsdauer, die wahrscheinliche Vorgangsdauer wird im Intervall <math>[c,d]\subset [a,b]</math> vermutet.<ref>W. Küpper, K. Lüder, L. Streitferdt: Netzplantechnik, Physica-Verlag HD (1975), ISBN 3-790-80139-9, Kapitel 3.3.3.1: Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Vorgangs und Verknüpfungsdauern, Seite 126</ref>

Eigenschaften[Bearbeiten]

Verteilungsfunktion[Bearbeiten]

Datei:TrapezVerteilung Verteilungsfunktion.png

Verteilungsfunktion zu obigem Beispiel

Die Verteilungsfunktion wächst auf <math>[a,b]</math> von 0 bis 1:

<math>F(x)=\begin{cases}

   \frac{(x-a)^2}{(b+d-a-c)(c-a)}, & \text{wenn } a \le x \le c\\
   \frac{2x-a-c}{b+d-a-c}, & \text{wenn }c \le x \le d \\
   1-\frac{(b-x)^2}{(b+d-a-c)(b-d)}, & \text{wenn } d \le x \le b.

\end{cases}</math>

Erwartungswert und Varianz[Bearbeiten]

Bei einer trapezverteilten Zufallsgröße <math>X</math> mit Parametern <math>a,b,c,d</math> wie oben angegeben gelten für den Erwartungswert und die Varianz folgende Formeln:<ref>Paul. R. Garvey: Probability Methods for Cost Uncertainty Analysis: A Systems Engineering Perspective, Marcel Dekker Inc (1999), ISBN 0-824-78966-0, Theorem 4.1</ref>

<math>\mathrm{E}(X) = \frac{((d+b)^2-db)-((a+c)^2-ac)}{3(d+b-a-c)}</math>

<math>\mathrm{Var}(X) = \frac{(d^2+b^2)(d+b)-(a^2+c^2)(a+c)}{6(d+b-a-c)} - (\mathrm{E}(X))^2</math>

Schiefe[Bearbeiten]

Für <math>c-a<b-d</math> ist die Verteilung rechtsschief, d. h. <math>\mathrm{E}(X) > m</math>. Für das in der Grafik dargestellte Beispiel [a,b]=[0,5] und [c,d]=[1,3] gilt <math>\mathrm{E}(X) = 48/21 > m = 9/4</math>.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Für <math>c=d</math> geht die Trapezverteilung in die Dreiecksverteilung über.
Für <math>a=c</math> und <math>b=d</math> liegt eine stetige Gleichverteilung vor.
Ist <math>b-d=c-a</math>, so ist die Trapezverteilung symmetrisch in Bezug auf den Mittelwert <math>\textstyle\frac{1}{2}(a+b)=\frac{1}{2}(c+d)</math>, wobei der Mittelwert mit dem Median übereinstimmt. Die Summe zweier unabhängiger, stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist symmetrisch trapezverteilt.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

Die Seite Vorlage:BoxenVerschmelzen/styles.css hat keinen Inhalt.