Henkelzerlegung

In der Differentialtopologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Henkelzerlegung die Grundlage für die Klassifikation und Beschreibung von Mannigfaltigkeiten.

Definition: Ankleben eines Henkels

Datei:Sphere with three handles.png

Diese 3-dimensionale Mannigfaltigkeit entsteht durch Ankleben dreier 1-Henkel an einen 0-Henkel.

Notation: <math>B^n</math> bezeichne die <math>n</math>-dimensionale Vollkugel, <math>S^{n-1}=\partial B^n</math> die <math>(n-1)</math>-dimensionale Sphäre.

Im Folgenden bezeichnen wir als <math>k</math>-Henkel einer <math>m</math>-dimensionalen Mannigfaltigkeit das Produkt

<math>H_k=B^k\times B^{m-k}</math>

mit der durch die Produktstruktur gegebenen Zerlegung

<math>\partial H_k=S^{k-1}\times B^{m-k}\cup B^k\times S^{m-k-1}</math>.

<math>B^k\times\left\{0\right\}</math> wird als Kern und <math>\left\{0\right\}\times B^{m-k}</math> als Kokern des Henkels bezeichnet.

Nun sei <math>M</math> eine <math>m</math>-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Das Ergebnis des Anklebens eines <math>k</math>-Henkels ist die Mannigfaltigkeit

<math>M \cup_f H_k = \left( M \sqcup (B^k \times B^{m-k}) \right) / \sim</math>

mit der Äquivalenzrelation <math>\sim</math> erzeugt durch <math>(p,x) \sim f(p,x)</math> für alle <math>(p,x) \in S^{k-1} \times B^{m-k} \subset B^k \times B^{m-k}</math>,

für eine Einbettung <math>f \colon S^{k-1} \times B^{m-k} \to \partial M</math>. Durch kanonisches Glätten der Ecken erhält man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.<ref>Stephen Smale: On the structure of 5-manifolds. In: Annals of Mathematics. Band 75, Nummer 1, 1962, S. 38–46, . </ref> (Insbesondere ist das Ankleben eines <math>0</math>-Henkels die disjunkte Vereinigung mit einem <math>m</math>-Ball <math>B^m</math>).

Die so erhaltene Mannigfaltigkeit ist eindeutig bestimmt durch die Einbettung <math>f \colon S^{k-1} \times B^{m-k} \to \partial M</math> oder äquivalent durch eine gerahmte Einbettung <math>S^{k-1}\to \partial M</math>.

Die Sphäre <math>S^{k-1}\times\left\{0\right\}</math> heißt die Anklebesphäre und die Sphäre <math>\left\{0\right\}\times S^{m-k-1}</math> heißt die Gürtelsphäre.

Henkelzerlegung

Jede kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit besitzt eine Henkelzerlegung.

Der Beweis dieses Satzes benutzt Morse-Theorie. Zu jeder differenzierteren Mannigfaltigkeit <math>M</math> gibt es eine Morse-Funktion <math>f\colon M\to\R</math>, deren kritische Punkte unterschiedlichen Funktionswerten entsprechen (und nicht auf dem Rand liegen). Der Satz folgt dann mittels vollständiger Induktion aus folgender lokalen Beschreibung der Umgebung eines kritischen Punktes.

Es sei <math>f\colon M\to\R</math> eine <math>C^\infty</math>-Funktion mit genau einem kritischen Punkt in <math>f^{-1}(0)</math> und keinen weiteren kritischen Punkten in <math>f^{-1}(\left[-\epsilon,\epsilon\right])</math> (für ein geeignetes <math>\epsilon>0</math>). Dann entsteht <math>f^{-1}(\left[-\infty,\epsilon\right])</math> aus <math>f^{-1}(\left[-\infty,-\epsilon\right])</math> durch Ankleben eines <math>k</math>-Henkels, wobei <math>k</math> der Index des kritischen Punktes in <math>f^{-1}(0)</math> ist.

Dieser Satz geht auf Stephen Smale zurück, der 1961 einen Beweis skizzierte und die Henkel-Zerlegung dann zum Beweis der Poincaré-Vermutung in Dimensionen <math>\ge 5</math> benutzte.<ref>Stephen Smale: Generalized Poincaré’s conjecture in dimensions greater than four. In: Annals of Mathematics. Band 74, Nummer 2, 1961, S. 391–406, .</ref> John Milnor bewies in seinem Buch „Morse Theory“ eine schwächere Version, die besagt, dass <math>f^{-1}(\left[-\infty,\epsilon\right])</math> homotopieäquivalent zu dem aus <math>f^{-1}(\left[-\infty,-\epsilon\right])</math> durch Ankleben einer k-Zelle entstehenden Raum ist.<ref>John Milnor: Morse theory. Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells (= Annals of Mathematics Studies. 51). Princeton University Press, Princeton NJ 1963.</ref> Ein vollständiger Beweis wurde 1963 von Palais gegeben.<ref>Richard S. Palais: Morse theory on Hilbert manifolds. In: Topology. Band 2, Nummer 4, 1963, S. 299–340, doi:10.1016/0040-9383(63)90013-2.</ref> Vereinfachte Fassungen finden sich bei Fukui<ref>Takehiro Fukui: On a proof of theorem in passing a critical level. In: Mathematical Seminar Notes. Kobe University. Band 3, 1975, S. 71–74.</ref> und Madsen-Tornehave.<ref>Ib Madsen, Jørgen Tornehave: From Calculus to Cohomology. De Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1997, ISBN 0-521-58059-5 (Appendix C).</ref>

Niedrigdimensionale Beispiele

• Klassifikation der Flächen: Jede geschlossene, orientierbare Fläche besitzt eine Henkelzerlegung aus einem 0-Henkel, <math>2g</math> 1-Henkeln und einem 2-Henkel. Die Zahl <math>g</math> ist das Geschlecht der Fläche.
• Heegaard-Zerlegung von 3-Mannigfaltigkeiten: Ein (3-dimensionaler) Henkelkörper vom Geschlecht <math>g</math> entsteht durch Ankleben von <math>g</math> 1-Henkeln an einen 0-Henkel. Als Heegaard-Zerlegung bezeichnet man die Zerlegung einer 3-Mannigfaltigkeit in zwei Henkelkörper. Jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit besitzt eine Heegaard-Zerlegung, das minimal mögliche <math>g</math> wird als Heegaard-Geschlecht bezeichnet. Eine Heegaard-Zerlegung bestimmt eine Henkelzerlegung der 3-Mannigfaltigkeit in einen 0-Henkel, <math>g</math> 1-Henkel, <math>g</math> 2-Henkel und einen 3-Henkel.
• Kirby-Kalkül: Henkelzerlegungen 4-dimensionaler Mannigfaltigkeiten werden durch Kirby-Diagramme beschrieben.

Relative Henkelzerlegung

Es sei <math>M</math> eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Zerlegung des Randes <math>\partial M</math> in (möglicherweise leere) Teilmengen

<math>\partial M=\partial_+M\sqcup\partial_-M</math>.

Eine Henkelzerlegung von <math>M</math> relativ zu <math>\partial_-M</math> ist eine Darstellung von <math>M</math> als durch sukzessives Ankleben von Henkeln an <math>\partial_-M\times\left[0,1\right]</math> konstruierte Mannigfaltigkeit. Mittels Morse-Theorie kann man zeigen, dass es zu jedem solchen Paar <math>(M,\partial_-M)</math> eine Henkelzerlegung von <math>M</math> relativ zu <math>\partial_-M</math> gibt.<ref>John Milnor: Lectures on the h-Cobordism Theorem. Notes by Laurent Siebenmann and Jonathan Sondow. Princeton University Press, Princeton NJ 1965.</ref>

Cerf-Theorie

Zwei Henkelzerlegungen derselben Mannigfaltigkeit lassen sich durch Henkelgleiten (engl.: handle slide) und Hinzufügen oder Weglassen zweier komplementärer Henkel (engl.: cancellation) ineinander überführen.

Henkelgleiten

Die Mannigfaltigkeit <math>M^\prime</math> entstehe aus <math>M</math> durch Ankleben eines <math>k</math>-Henkels mittels der Anklebe-Abbildung <math>\phi\colon S^{k-1}\times B^{m-k}\to \partial M</math>. Es sei <math>h\colon M\times\left[0,1\right]\to M</math> eine Isotopie mit <math>h_0=id</math> und <math>h:=h_1</math>. Dann ist die durch Ankleben eines <math>k</math>-Henkels an <math>M</math> mittels der Verklebeabbildung <math>h\circ\phi</math> konstruierte Mannigfaltigkeit <math>M^{\prime\prime}</math> diffeomorph zu <math>M^\prime</math>.

Insbesondere kann man einen <math>k</math>-Henkel stets so ankleben, dass seine Anklebesphäre disjunkt von den Gürtelsphären aller <math>l</math>-Henkel mit <math>l\ge k</math> ist. Als Folgerung daraus kann man für jede kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Henkelzerlegung so konstruieren, dass Henkel in aufsteigender Folge ihrer Indizes an eine Menge von <math>0</math>-Henkeln angeklebt werden, d. h. für <math>l\ge k</math> werden die <math>l</math>-Henkel nach den <math>k</math>-Henkeln angeklebt.

Komplementäre Henkel

Ein <math>k</math>-Henkel und ein <math>(k+1)</math>-Henkel heißen komplementär, wenn die Anklebesphäre des <math>(k+1)</math>-Henkels die Gürtelsphäre des <math>k</math>-Henkels in genau einem Punkt transversal schneidet.

Wenn eine Mannigfaltigkeit <math>M^\prime</math> aus einer Mannigfaltigkeit <math>M</math> durch Ankleben eines <math>k</math>-Henkels und anschließendes Ankleben eines zu diesem komplementären <math>(k+1)</math>-Henkels entsteht, dann ist <math>M^\prime</math> diffeomorph zu <math>M</math>. Als Folgerung daraus kann man eine Henkel-Zerlegung stets so wählen, dass es genau einen 0-Henkel gibt und weiterhin, falls <math>\partial M=\emptyset</math> bzw. <math>\partial M\not=\emptyset</math> so dass es genau einen bzw. keinen <math>m</math>-Henkel mit <math>m=\dim(M)</math> gibt.

Satz von Cerf

Zwei (relative) Henkelzerlegungen eines Paares <math>(M,\partial_- M)</math> (mit in aufsteigender Reihenfolge der Indizes angeklebten Henkeln) lassen sich durch eine Folge von Henkel-Gleiten, Hinzufügen/Entfernen eines komplementären Henkelpaares und Isotopien ineinander überführen.<ref>Jean Cerf: La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le théorème de la pseudo-isotopie. In: Publications Mathématiques de l’IHÉS. Band 39, 1970, S. 5–173.</ref>

Chirurgien (Sphärische Modifikationen) und Zusammenhang zur Kobordismustheorie

Datei:Sphere-surgery1.png

2-Chirurgie der 2-Sphäre

Wenn eine Mannigfaltigkeit <math>M^\prime</math> aus <math>M</math> durch Ankleben eines <math>k</math>-Henkels entsteht, dann entsteht die (m-1)-Mannigfaltigkeit <math>\partial M^\prime</math> aus <math>\partial M</math> durch eine <math>(k-1)</math>-Chirurgie, d. h. durch Ausschneiden der eingebetteten <math>S^{k-1}\times D^{m-k}</math> und anschließendes Einkleben von <math>D^k\times S^{p-k-1}</math> mittels der kanonischen Identifikation

<math>\partial (D^k\times S^{m-k-1})=S^{k-1}\times S^{m-k-1}=\partial(S^{k-1}\times D^{m-k})</math>.

(Diese Chirurgien werden in der Literatur auch als sphärische Modifikationen bezeichnet.)

Sei <math>W</math> ein Kobordismus zwischen geschlossenen Mannigfaltigkeiten <math>M_0</math> und <math>M_1</math>, also eine kompakte Mannigfaltigkeit <math>W</math> mit <math>\partial W=M_0\sqcup M_1</math>. Dann erhält man mit dem Satz von Smale eine Henkelzerlegung von <math>W</math> relativ zu <math>M_0</math> und mithin eine Konstruktion von <math>M_1</math> aus <math>M_0</math> durch eine Abfolge von Chirurgien (sphärischen Modifikationen).

Literatur

• Robert E. Gompf, András I. Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus (= Graduate Studies in Mathematics. 20). American Mathematical Society, Providence RI 1999, ISBN 0-8218-0994-6.
• Yukio Matsumoto: An introduction to Morse theory (= Translations of Mathematical Monographs. 208 = Iwanami Series in Modern Mathematics.). Translated from the 1997 Japanese original by Kiki Hudson and Masahico Saito. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-1022-7.

Weblinks

• Handlebody Decomposition of a Manifold

Einzelnachweise

<references />