Hopf-Verschlingung
In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.
Hopf-Verschlingung[Bearbeiten]
Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d. h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.
Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im <math>\R^3</math> durch <math>(\cos t,\sin t,0)</math> und <math>(\cos t + 1,0,\sin t)</math> parametrisierten Kreise.
Topologie des Komplements[Bearbeiten]
Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre <math>S^3</math> ist homöomorph zu <math>S^1\times S^1\times\left( 0,1\right)</math>. Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu <math>\Z\times\Z</math>, der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.
Invarianten[Bearbeiten]
Das Jones-Polynom ist
- <math>V(t)=-t-t^{-1}</math>,
das HOMFLY-Polynom ist
- <math>P(z,\alpha)=z^{-1}(\alpha^{-1}-\alpha^{-3})-z\alpha^{-1}</math>,
die Hopf-Verschlingung ist der <math>(2,2)</math>-Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes <math>\sigma_1^2</math>.
Hopf-Faserung und Homotopiegruppen, Hopf-Invariante[Bearbeiten]
Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung
- <math>h\colon S^3\to S^2</math>
und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.
Allgemein definierte er für Abbildungen <math>f\colon S^3\to S^2</math> die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante <math>H(f)\in\Z</math> als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von <math>f</math> und er bewies, dass die Zuordnung
- <math>f\to H(f)</math>
einen Isomorphismus
- <math>\pi_3(S^2)\to\Z</math>
ergibt.
Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie[Bearbeiten]
- Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
- Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
- Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.
Literatur[Bearbeiten]
- Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (Göttinger Digitalisierungszentrum)
- Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380
Weblinks[Bearbeiten]
- Hopf Link auf MathWorld
- Topology of a Twisted Torus Numberphile (Video)